《黎曼流形上幾類反應擴散方程（組）解的整體存在性》是依託中國礦業大學，由汝強擔任項目負責人的數學天元基金項目。
基本介紹
- 中文名：黎曼流形上幾類反應擴散方程（組）解的整體存在性
- 項目類別：數學天元基金項目
- 項目負責人：汝強
- 依託單位：中國礦業大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
本項目擬著重研究下述幾方面的問題：（1）在黎曼流形上研究反應擴散方程（組），著重研究在非緊緻、完備的黎曼流形上反應擴散方程（組）的整體解存在性、奇性的形成機制（爆破、在激波形成中正則性的丟失）以及在奇點附近解的漸近行為；（2）通過涉及熱核的一些新的不等式，運用合適的能量估計，研究其Fujita型臨界指數。通過本項目的研究，有助於推動在黎曼流形上對反應擴散方程（組）的前沿熱點問題的探討；不僅具有幾何物理意義，而且還具有重要的理論意義
結題摘要
擴散是最普遍的自然現象之一，在物理學、化學、生物學及工程學科中都存在大量的擴散現象，而這一現象用數學語言去描述通常可以用反應擴散方 程（組）來刻畫，對這一類型方程（組）的科學研究長期以來是一個具有重要 意義的課題，有很多問題有待於我們去研究與探索。數學家們最早是在歐氏空 間裡對其進行研究的,也獲得了非常多的具有重要意義的研究成果，但是在黎曼流形上研究相應的問題的結果就比較少，我們需要很多新的技巧來研究，同時這一問題也引起了許多數學家的高度關注，本項目的研究結果主要有：我們將獲得的結果及方法，嘗試運用到其他類型方程的理論研究，對在黎曼流形上的非線性帶臨界位勢的波動方程整體解的存在性進行研究研究，獲得了其局部解的存在性和整體解的不存在性，相比於已有結果(Todorova and Yordanov in C. R. Acad. Sci., Sér. 1 Math. 300:557-562, 2000)更為一般的結論，我們所用的方法是受Qi S. Zhang (C. R.Acad. Sci., Sér. 1 Math. 333:109-114, 2001)的啟發；我們也證明了其局部解的存在唯一性；同時也提出了一個新的具有旋轉不變數的幾何流，並證明了其整體解的存在性，其結果已經在審稿中。研究結果具有重要的科學意義，可以推動在黎曼流形上對反應擴散方程和波動方程前沿熱點問題的研究。
