黎曼構想又稱黎曼猜想。這是1859年由德國大數學家黎曼提出的幾個猜想之一，這個猜想指黎曼函式。
基本介紹
- 中文名：黎曼構想
- 外文名：Riemann Hypothesis
- 時間：1859年
- 分類：數學
- 提出者：黎曼
- 國家：德國
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猜想·黎曼函式
在數學中我們碰到過許多函式，最常見的是多項式和三角函式。多項式 的零點也就是代數方程 =0的根。根據代數基本定理，n次代數方程有n個根，它們可以是實根也可以是復根。因此，多項式函式有兩種表示方法，即
但是，這樣的 用處不大，黎曼把它開拓到整個複數平面，成為復變數s就包含非常多的信息。正如多項式的情形一樣，函式的信息大部分包含在其零點的信息當中，因此， 的零點就成為大家關心的頭等大事。 有兩類零點，一類是s=-2，-4，…-2n，…時的實零點，稱為平凡零點；一類是復零點。黎曼猜想就是講，這些復零點的實部都是，也就是所有復零點都在 這條直線（後稱為臨界線）上。
這個看起來簡單的問題並不容易。從歷史上看，求多項式的的零點特別是求代數方程的復根都不是簡單的問題。一個特殊函式的零點也不太容易找到。在85年前，哈代首先證明這條臨界線上有無窮多個零點。10年前我們知道有2/5的復零點都在這條線上，而且這條線外至今也沒有發現復零點，因此，黎曼猜想是對是錯還在未定之中。
這個簡單的特殊函式在數學上有重大意義，正因為如此，黎曼猜想總是被當成數一數二的重要猜想。在這個猜想上稍有突破，就有不少重大成果。200年前高斯提出的素數定理就是在100年前由於黎曼猜想的一個重大突破而證明的。當時只是證明復零點都在臨界線附近，如果黎曼猜想被完全證明，整個解析數論將取得全面進展。
更重要的是，在代數數論、代數幾何、微分幾何、動力系統理論等學科中都引入各種 函式和它們的推廣L函式，它們各有相應的“黎曼猜想”，其中有的黎曼猜想已經得到證明，使得該分支獲得突破性的進展。可以構想，黎曼猜想及其各種推廣是21世紀的中心的問題之一。
黎曼猜想，即素數的分布最終歸結為所謂的黎曼ζ函式的零點問題。
Riemann 猜想究竟是一個什麼樣的猜想呢？ 在回答這個問題之前我們先得介紹一個函式： Riemann ζ 函式。 這個函式雖然掛著 Riemann 的大名， 其實並不是 Riemann 首先提出的。 但 Riemann 雖然不是這一函式的提出者， 他的工作卻大大加深了人們對這一函式的理解， 為其在數學與物理上的廣泛套用奠定了基礎。 後人為了紀念 Riemann 的卓越貢獻， 就用他的名字命名了這一函式。
那么究竟什麼是 Riemann ζ 函式呢？ Riemann ζ 函式 ζ(s) 是級數表達式 (n 為正整數)
ζ(s) = ∑n n-s (Re(s) > 1)
在複平面上的解析延拓。 之所以要對這一表達式進行解析延拓， 是因為 - 如我們已經註明的 - 這一表達式只適用於複平面上 s 的實部 Re(s) > 1 的區域 (否則級數不收斂)。 Riemann 找到了這一表達式的解析延拓 (當然 Riemann 沒有使用 “解析延拓” 這樣的現代複變函數論術語)。 運用路徑積分， 解析延拓後的 Riemann ζ 函式可以表示為：如右上角圖
式中的積分實際是一個環繞正實軸 (即從 +∞ 出發， 沿實軸上方積分至原點附近， 環繞原點積分至實軸下方， 再沿實軸下方積分至 +∞ - 離實軸的距離及環繞原點的半徑均趨於 0) 進行的圍道積分； 式中的 Γ 函式 Γ(s) 是階乘函式在複平面上的推廣， 對於正整數 s>1： Γ(s)=(s-1)!。 可以證明， 這一積分表達式除了在 s=1 處有一個簡單極點外在整個複平面上解析。 這就是 Riemann ζ 函式的完整定義。
黎曼猜想
運用右上角圖中的積分表達式可以證明， Riemann ζ 函式滿足以下代數關係式：
ζ(s) = 2Γ(1-s)(2π)s-1sin(πs/2)ζ(1-s)
從這個關係式中不難發現， Riemann ζ 函式在 s=-2n (n 為正整數) 取值為零 - 因為 sin(πs/2) 為零[注三]。 複平面上的這種使 Riemann ζ 函式取值為零的點被稱為 Riemann ζ 函式的零點。 因此 s=-2n (n 為正整數) 是 Riemann ζ 函式的零點。 這些零點分布有序、 性質簡單， 被稱為 Riemann ζ 函式的平凡零點 (trivial zeros)。 除了這些平凡零點外， Riemann ζ 函式還有許多其它零點， 它們的性質遠比那些平凡零點來得複雜， 被稱為非平凡零點 (non-trivial zeros) 。 對 Riemann ζ 函式非平凡零點的研究構成了現代數學中最艱深的課題之一。Riemann 猜想就是一個關於這些非平凡零點的猜想。
Riemann 猜想: Riemann ζ 函式的所有非平凡零點都位於複平面上 Re(s)=1/2 的直線上。
這就是 Riemann 猜想的內容， 它是 Riemann 在 1859 年提出的。從其表述上看， Riemann 猜想似乎是一個純粹的複變函數命題，但它其實卻是一曲有關素數分布的神秘樂章。
證明黎曼猜想的嘗試
黎曼1859年在他的論文 Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe' 中提及了這個著名的猜想，但它並非該論文的中心目的，他也沒有試圖給出證明。黎曼知道ζ函式的不平凡零點對稱地分布在直線s = ½ + it上，以及他知道它所有的不平凡零點一定位於區域0 ≤ Re(s) ≤ 1中。
1896年，雅克·阿達馬和 Charles Jean de la Vallée-Poussin 分別獨立地證明了在直線Re(s) = 1上沒有零點。連同了黎曼對於不非凡零點已經證明了的其他特性，這顯示了所有不平凡零點一定處於區域0 < Re(s) < 1上。這是素數定理第一個完整證明中很關鍵的一步。
1900年，大衛·希爾伯特將黎曼猜想包括在他著名的23條問題中，黎曼猜想與哥德巴赫猜想一起組成了希爾伯特名單上第8號問題。當被問及若他一覺醒來已是五百年後他將做什麼時，希爾伯特有名地說過他的第一個問題將是黎曼猜想有否被證明。(Derbyshire 2003:197; Sabbagh 2003:69; Bollobas 1986:16). 黎曼猜想是希爾伯特問題中唯一一個被收入克雷數學研究所的千禧年大獎數學難題的。
1914年，高德菲·哈羅德·哈代證明了有無限個零點在直線Re(s) = ½上。然而仍然有可能有無限個不平凡零點位於其它地方（而且有可能是最主要的零點）。後來哈代與約翰·恩瑟·李特爾伍德在1921年及塞爾伯格在1942年的工作（臨界線定理）也就是計算零點在臨界線 Re(s) = ½ 上的平均密度。
近幾十年的工作集中於清楚的計算大量零點的位置（希望藉此能找到一個反例）以及對處於臨界線以外零點數目的比例置一上界（希望能把上界降至零）。
過去數十年很多數學家隊伍聲稱證明了黎曼猜想，而截至2007年為止有少量的證明還沒被驗證。但它們都被數學社群所質疑，而專家們多數並不相信它們是正確的。艾希特大學的 Matthew R. Watkins 為這些或嚴肅或荒唐的聲明編輯了一份列表，而一些其它聲稱的證明可在arXiv資料庫中找到。
