魔術方陣

簡介

傳說在我國古代夏禹治水時，曾經看過洛水之中有一隻大烏龜，這隻烏龜的背上有幾個奇妙的花紋，引起了眾人的注目。仔細看這大龜身上的花紋，可以發現這花紋是由45個圓點所組成的，形成如左上圖的排列，後人便稱之為洛書。

我們可以利用阿拉伯數字來表示夏禹所發現的洛書，結果就可以看到如右圖的方陣。好奇的祖先們發現，這龜的圖形所代表的數字，不管是沿著橫行將數字一個一個加起來，或是沿著縱列，甚至於沿對角線計算數字和，都能夠得到數字和15這個奇妙的數字。

橫行各數字和：　4+9+2=15 3+5+7=15 8+1+6=15

縱列各數字和：　4+3+8=15 9+5+1=15 2+7+6=15

對角線數字和：　4+5+6=15 2+5+8=15

魔術方陣簡單的說，就是一個由1到n2 的數字所組成的n*n陣列，具有各對角線，各橫行與縱列的數字和都相等的性質。您不妨動手試試看，看看能不能在一個3x3或是4x4的方格陣列中造出魔術方陣來。當然，或許你能夠造出許多不同的魔術方陣，換言之，即3x3以上的方格陣列之魔術方陣個數不唯一。

根據「論說」和「星子」中的記載，傳說大約在三千年前, 夏禹治水時, 在洛水裡出現了一隻大烏龜, 龜背上刻有奇特的圖案，人們將他取名為洛書。

這個方陣具有一個奇特的性質，那就是每一行、每一列以及對角線上的數字和都是15。祖先們認為"洛書"是一個吉祥的象徵，所以許多人都將他畫在紙上攜帶，認為有保平安的效果。

在別的東方地區也有幻方的記載，但多數也蒙上神秘的色彩。較早期的一個，是刻在印度一所廟宇的石上，年代大約是十一世紀，是個4階幻方。古代印度的人民十分崇拜這種幻方，至今從古神殿的遺址、墓碑上常常還可以發現四階幻方的遺蹟，至今還有許多印度人把「洛書」的圖案佩在胸前當作護身符。

由於洛書共有九個數字，所以漢代的徐岳把他稱為九宮算 (或九宮圖) 。九宮算在漢代之後又有很大的擴展，成為縱橫均為n行的縱橫圖。而公元十世紀宋朝時，有人將「九宮」和「洛出書」合稱為「洛書」。

1275年，中國數學家揚揮在古摘奇算法中更進一步模仿洛書，計算出了五五幻方、六六幻方....九九幻方及百子幻方 (十階幻方) 等。後來程大位在1593年於算法統宗中繼承了揚輝的工作又作出十四個幻方，而張潮更將幻方推廣到正立方體上。

十二世紀的阿拉伯文獻里也有六階幻方的記載，我國考古學家曾經在西安也發現了五塊鐵板，上面刻有當時阿拉伯文獻上的五個六階幻方，也說明了我國與阿拉伯數學文化交流的情況。右圖即五個六階幻方中的一個。

直到西元13世紀時，東羅馬帝國的希臘數學家才對幻方產生興趣，但是成果不多。

在公元15世紀時，住在君士坦丁堡的魔索普拉把我國的縱橫圖介紹給歐洲人，並取名為magic square，因為縱橫圖具有如此變幻莫測的特別性質，所以在歐洲也掀起了一段占星的風潮，中古世紀的歐洲人也認為幻方具有符的法力，能夠鎮壓妖魔，許多歐洲寺院中的神殿都使用他，而許多占星術師也將其作為護身符。