鬼谷子問徒是一道古老的邏輯推理題目。其真實性已不可考，但這道古老的題目對今天的數學研究仍有指導意義。
基本介紹
- 中文名：鬼谷子問徒
- 類型：邏輯推理題目
本題為廣為流傳的一經典邏輯推理題目，原題如下：
他從2到99中選出兩個不同的整數，把積告訴孫，把和告訴龐；
龐說：我雖然不能確定這兩個數是什麼，但是我肯定你也不知道這兩個數是什麼。
孫說：我本來的確不知道，但是聽你這么一說，我現在能夠確定這兩個數字了。
龐說：既然你這么說，我現在也知道這兩個數字是什麼了。
請問這兩個數字是什麼？為什麼？
題目解答分析：
1、龐涓能確定孫臏肯定不知道這兩個數，可以有這樣幾個推論。
(A)龐涓手上的數字是4-198之間的數字，因為是兩個2-99的數之和。
(B)龐涓的和數一定不能拆成兩個質數之和，否則孫臏拿到的積可能拆成唯一一種兩個質數之積的情況，此時孫臏就可以猜出這兩個數，龐涓不能排除這種可能性，就不會有確信。
歌德巴赫猜想認為任意大於4的偶數都能被拆成兩個奇質數之和，但由於兩個質數都要小於99，所以龐涓手上的數可能為偶數，但這個偶數會接近200（有182，184，188，190，192，196和198），除此之外，只可能是奇數。
舉例：如果龐涓手上是28，可以拆成11+17，當孫臏拿到了187這個積，馬上就可以猜出鬼谷子給他的兩個數是11和17，與龐涓肯定孫臏不知道這兩個數相矛盾，因此有可能拆成兩個2-99的質數和的數都要排除。
(C)龐涓的和數一定不是大於55的數。因為大於53的數始終能夠拆成質數53和另一個大於2的數，在2-99的限制下，這兩個數的乘積只有這唯一一種拆分方法。舉例：如果龐涓手上的和數是57，可以拆成53+4，當孫臏拿到212這個積，只有4*53這一種拆分可能性，因為2*106的另一種拆分方法導致有一個數超過99。由此排除55以上的所有所有數。
(D)滿足以上條件的這樣的數字僅有11個：11，17，23，27，29，35，37，41，47，51，53。
2、孫臏知道自己手中的積，並說本來不知道，但現在知道了。意味著，孫臏看了自己手上的積後，分解因式對應的所有拆分情況中有且僅有一種，兩個因數的和是以上11個數中的一個。
舉例：當龐涓看到兩個數的和是11時，孫臏看到兩數的積只能是18（2*9）、24（3*8）或者28（4*7），但不能是30（5*6）。因為如果是30，可以拆成2*15、3*10和5*6三種情況，其中2*15和5*6兩種情況下，由於2+15=17和5+6=11都在以上11個數內，所以滿足龐涓說出第一句話的要求，但孫臏不能確定鬼谷子的兩個數是2和15，還是5和6，所以不會說出他已經知道這兩個數的話。回頭再看積是18的情況，孫臏可以猜到鬼谷子的兩個數是2和9或者3和6，但因為3+6=9不在以上11個數內，不滿足龐涓說出第一句話的條件，所以不可能，於是只有2和9唯一一種可能。同理，積是24和28的情況都可以類似推理。
根據這個條件可以得到對應以上11個數時，可能的兩個數的情況：
可能的和（由龐涓說出第一句對話推得） | 可能的解（由孫臏說出第二句對話推得） |
11 | (2,9) (3,8) (4,7) |
17 | (4,13) |
23 | (4,19) (7,16) (10,13) |
27 | (2,25) (4,23) (5,22) (7,20) (8,19) (9,18) (10,17) (11,16) (13,14) |
29 | (2,27) (4,25) (6,23) (7,22) (8,21) (10,19) (11,18) (12,17) (13,16) |
35 | (3,32) (4,31) (6,29) (8,27) (9,26) (10,25) (12,23) (12,23) (14,21) (16,19) (17,18) |
37 | (5,32) (6,31) (8,29) (9,28) (16,21) (17,20) |
41 | (3,38) (4,37) (7,34) (9,32) (10,31) (12,29) (13,28) (15,26) (16,25) (17,24) (18,23) (19,22) |
47 | (4,43) (6,41) (7,40) (10,37) (13,34) (15,32) (16,31) (17,30) (18,29) (19,28) (22,25) (23,24) |
51 | (2,49) (3,48) (4,47) (5,46) (7,44) (8,43) (10,41) (11,40) (12,39) (13,38) (14,37) (16,35) (17,34) (18,33) (19,32) (20,31) (22,29) (23,28) (24,27) (25,26) |
53 | (5,48) (6,47) (8,45) (10,43) (12,41) (13,40) (15,38) (16,37) (17,36) (19,34) (20,33) (21,32) (22,31) (23,30) (24,29) (25,28) (26,27) |
3、龐涓是知道自己手中的和數，當孫臏猜出兩個數後，龐涓也知道了這兩個數字，由於龐涓並不知道兩數積，所以只能從以上表格出發確定，這就要求第二步有唯一解。
舉例：如果龐涓拿到的和是11，那么有3種情況滿足孫臏說出第二句對話的條件，所以他並不能確定鬼谷子的兩個數是2和9，3和8還是4和7。這就不符合龐涓說出第三句對話的條件。
因此，龐涓看到的和只可能是17，而孫臏看到的積是52，鬼谷子的兩個數是4和13。
第二步求解過程比較複雜，可以藉助VBA或C++等工具計算。主要邏輯包含三個循環，第一步循環以上11個數，記為S；在此循環內，第二步從2到(S-1)/2循環，找出所有A+B=S的正整數解A和B；在此循環內，第三步從2到
循環，找出所有x*y=AB的所有正整數解（藉助mod函式）x和y，然後判斷x+y=11/17/23/27/29/35/37/41/47/51/53的情況（可以全部列出，也可以增加一個循環判定），如果只有唯一一次等式成立，則A和B為符合要求的解。
