高階非協調有限元的構造、收斂性分析及其套用

《高階非協調有限元的構造、收斂性分析及其套用》是依託大連理工大學,由孟兆良擔任醒目負責人的青年科學基金項目。

基本介紹

• 中文名：高階非協調有限元的構造、收斂性分析及其套用
• 依託單位：大連理工大學
• 項目類別：青年科學基金項目
• 項目負責人：孟兆良

項目摘要

本項目針對二階橢圓問題、Stokes問題及平面彈性問題中的非協調元構造問題開展理論和套用研究，主要考慮二維和三維格線上的高收斂階非協調元的構造。非協調元構成的混合元對更容易滿足LBB條件，求解Stokes問題能得到穩定的數值解；同時它還可以有效避免平面彈性問題中的數值死鎖現象。相比低階非協調元，高階非協調元的自由度的選取更為複雜，並且對應的自由節點通常在一條低次代數曲線（面）上；對於四邊形格線或三維格線，自由度的個數通常要大於相應全次數多項式空間的維數。本項目首先根據實際需要給出自由度的選取方法（特別是對三維格線），然後擬採用代數幾何和計算幾何中的技巧來選取形函式空間，使得與自由度的選取相匹配，並通過（廣義）分片檢驗。利用本項目構造的非協調元求解二階橢圓問題、Stokes問題及平面彈性問題，給出相應的誤差估計和大量的數值實驗。另外也考慮在構造過程中產生的實際數數值計算問題。

結題摘要

本項目針對二階橢圓問題、Stokes問題及平面彈性問題中的非協調元構造問題開展理論和套用研究，主要考慮二維和三維格線上的高收斂階非協調元的構造。本項目給出了矩形格線上的3次非協調元的構造方法，局部自由度個數僅比三次多項式空間的維數多1。對於任意四邊形格線，給出了一種非參格式，跟低次的不連續元構成穩定的混合元對；為了避免非參元計算上的不便利，引入了一個新的參考單元，任意四邊形都與該單元存在仿射關係，並由此給出了旋轉元在四邊形格線上的推廣，給出了基函式的顯式表達式和剛度矩陣計算公式。對六面體格線，給出了兩種2次非協調元的構造方法，分別需要13個和14個自由度，並對這兩種格式以及92年他人提出的一組14點元進行了理論分析並進行了數值驗證。在本項目執行期間，共發表學術論文10篇，其中SCI論文7篇，另有一篇被SCI期刊接收；指導碩士研究生3名（含畢業碩士兩名），聯合培養博士生3名。