高階微分方程的周期解及多重性

《高階微分方程的周期解及多重性》是依託吉林大學，由梁樹青擔任項目負責人的青年科學基金項目。

基本介紹

• 中文名：高階微分方程的周期解及多重性
• 項目類別：青年科學基金項目
• 項目負責人：梁樹青
• 依託單位：吉林大學

項目摘要

本項目主要研究高階微分方程與方程組周期解的多重性與穩定性。二階常微分方程周期解的存在性、多重性與穩定性已有廣泛研究。而有關高階微分方程周期解的多重性與穩定性的研究成果還很少。部分原因是高階微分方程或方程組的近似方程與二階非線性方程的近似方程有明顯區別，後者的譜分析結果豐富，如Floquet理論以及Hill方程的旋轉數刻畫方法，而前者的譜分析結果較少。本項目將分析一類線性化運算元的譜，進而研究高階微分方程與方程組的周期解的多重性以及穩定性。

結題摘要

本項目按照研究計畫開展了微分方程周期解的存在性，多重性與穩定性研究。證明工具主要包含連續性方法，度理論，Hill方程的Floquet理論及周期特徵值與反周期特徵值的估計與分支理論的證明方法。項目針對採用p範數刻畫參數函式的回覆力集合，討論Duffing方程的周期解的存在性，多重性與精確的個數分析，以及周期解的穩定性問題；與無窮範數刻畫回復力集合的參數集合進行比較；在方程具有唯一穩定周期解情形，能否估計解的衰減速度，能否說明所得衰減速度的最優性；當回復力顯式依賴參數時，能否分析周期解的存在性，精確個數與穩定性對參數的依賴性。主要的科學意義是討論了Duffing方程在使用無窮範數以及p範數下的回覆力集合上，周期解的相關結論，也就是說即使參數集合不屬於經典的無窮範數集合時，周期解的相關結論依然可能成立，這也說明了採用不同的刻畫方法刻畫參數集合的差異。該方程是一個經典方程，在電子工程的設計中有重要角色。