《高等數學深化訓練與大學生數學競賽教程》是2017年4月電子工業出版社出版的圖書，作者是劉強、陶桂平、梅超群。
基本介紹
- 書名：高等數學深化訓練與大學生數學競賽教程
- 作者：劉強,陶桂平,梅超群
- ISBN：9787121311284
- 頁數：384頁
- 出版社：電子工業出版社
- 出版時間：2017年4月
- 開本：16開
- 千字數：620
- 版次：1-1
內容簡介,編輯推薦,圖書目錄,
內容簡介
本書是作者多年來在大學生數學競賽輔導和考研輔導經驗的基礎上編寫而成的．全書共分為13 章，每章包括4 個模組，即知識要點、典型例題分析、深化訓練以及深化訓練詳解．本書編寫的目的主要有兩個：一是幫助工科類、經管類本科生備考全國大學生數學競賽，使學生能夠在短時間內迅速掌握各種解題方法和技巧，提升學生綜合分析問題、解決問題的能力；二是為了滿足工科類、經管類本科生考研的需要. 在例題和習題選編方面，精選了部分有代表性的數學競賽真題和考研真題，同時注重例題、習題的創新，按題型分類進行合理編排，使學生能夠儘快地適應考研題型，從容應對考試.本書既可以作為普通高等院校工科類、經管類本科生參加全國大學生數學競賽的輔導用書，也可以作為工科類、經管類本科生考研深化訓練用書．
編輯推薦
適讀人群 ：本書可作為高等院校教師高等數學配套教學參考書或高等數學提高班講義，還可作為報考碩士研究生和參加數學競賽人員的參考資料。
本書作者是數學領域的專家，指導學生參加數學競賽多次獲獎。本書是在作者多年積累的基礎上形成的。不僅涵蓋了基礎知識點，更是枚舉了典型例題，給出不同解法，給讀者啟發和思考，提升讀者解決問題的能力！一本不錯的好書，值得推薦！
圖書目錄
第1章 函式 1
1.1 知識要點 1
1.1.1 函式 1
1.1.2 常用不等式 1
1.1.3 反函式 2
1.1.4 複合函式 2
1.1.5 關於函式表達式的求解 2
1.1.6 一些常用的三角公式 2
1.1.7 一些常用的代數公式 3
1.2 典型例題分析 4
1.2.1 題型一、函式表達式的求解與證明 4
1.2.2 題型二、複合函式問題 6
1.2.3 題型三、函式的四種幾何特性 7
1.3 深化訓練 9
1.4 深化訓練詳解 10
第2章 極限與連續 12
2.1 知識要點 12
2.1.1 極限的概念與性質 12
2.1.2 無窮小量與無窮大量 13
2.1.3 四個極限存在準則與兩個重要極限 14
2.1.4 幾個重要的結論 15
2.1.5 施篤茲（O.Stolz）定理 15
2.1.6 柯西（Cauchy）定理 15
2.1.7 關於函式的連續性 16
2.1.8 求極限的常用方法 16
2.2 典型例題分析 16
2.2.1 題型一、利用極限的分析定義求極限 16
2.2.2 題型二、利用初等變換方法求極限 18
2.2.3 題型三、利用四個極限存在準則求極限 19
2.2.4 題型四、利用施篤茲定理求極限 22
2.2.5 題型五、利用兩個重要極限求極限 23
2.2.6 題型六、利用等價無窮小量替換求極限 24
2.2.7 題型七、利用中值定理求極限 25
2.2.8 題型八、利用定積分的定義求極限 28
2.2.9 題型九、函式的連續性問題 29
2.2.10 題型十、連續函式的等式證明問題 32
2.3 深化訓練 33
2.4 深化訓練詳解 36
第3章 導數與微分 44
3.1 知識要點 44
3.1.1 導數的概念 44
3.1.2 導數的幾何意義 44
3.1.3 高階導數 45
3.1.4 複合函式的求導法則 45
3.1.5 反函式求導法則 45
*3.1.6 參數方程所確定的函式的導數 46
3.1.7 幾個重要的結論 46
3.1.8 達布（Darboux）定理 46
3.2 典型例題分析 46
3.2.1 題型一、導數的定義問題 46
3.2.2 題型二、反函式、複合函式求導問題 48
3.2.3 題型三、導數的幾何意義 49
3.2.4 題型四、利用導數的定義求極限 50
3.2.5 題型五、分段函式的導數問題 51
3.2.6 題型六、高階導數問題 51
3.2.7 題型七、隱函式的求導問題 54
3.2.8 題型八、導數的等式證明問題 54
3.2.9 題型九、導函式的連續性問題 55
*3.2.10 題型十、導數的參數方程問題 56
3.2.11 題型十一、導數的綜合問題 57
3.3 深化訓練 58
3.4 深化訓練詳解 60
第4章 微分中值定理 64
4.1 知識要點 64
4.1.1 中值定理 64
4.1.2 一些常用的麥克勞林公式 65
4.1.3 一些常用的結論或公式 66
4.2 典型例題分析 66
4.2.1 題型一、利用中值定理證明等式問題 66
4.2.2 題型二、利用中值定理證明不等式問題 69
4.2.3 題型三、利用中值定理證明恆等式 73
4.2.4 題型四、函式的零點、方程的根的問題 74
4.2.5 題型五、利用泰勒公式求極限 75
4.2.6 題型六、利用泰勒公式證明等式 80
4.2.7 題型七、利用泰勒公式證明不等式 80
4.2.8 題型八、泰勒公式的其他套用 82
4.3 深化訓練 82
4.4 深化訓練詳解 84
第5章 導數的套用 89
5.1 知識要點 89
5.1.1 洛必達法則 89
5.1.2 函式的單調性 89
5.1.3 函式的極值與最值 89
5.1.4 曲線的凹凸區間與拐點 89
5.1.5 曲線的漸近線 90
5.1.6 函式圖形的描繪 90
*5.1.7 曲率、曲率圓與曲率半徑 90
5.2 典型例題分析 91
5.2.1 題型一、洛必達法則的套用 91
5.2.2 題型二、利用單調性或極值證明不等式 94
5.2.3 題型三、函式的極值問題 96
5.2.4 題型四、函式的零點、方程的根的問題 99
5.2.5 題型五、凹凸性問題 100
5.2.6 題型六、漸近線問題 100
5.2.7 題型七、函式圖形的描繪 102
5.2.8 題型八、方程的近似解 102
*5.2.9 題型九、曲率問題 103
5.3 深化訓練 104
5.4 深化訓練詳解 105
第6章 不定積分 113
6.1 知識要點 113
6.1.1 不定積分的定義與性質 113
6.1.2 換元積分法 113
6.1.3 分部積分法 114
6.1.4 有理函式的積分法 114
6.1.5 三角函式有理式的積分法 114
6.1.6 簡單無理函式的積分法 115
6.1.7 常用積分公式表 115
6.2 典型例題分析 116
6.2.1 題型一、利用換元法、分部積分法求解不定積分 116
6.2.2 題型二、利用等式求解不定積分 120
6.2.3 題型三、利用三角替換方法求解不定積分 121
6.2.4 題型四、求解三角有理函式的不定積分 123
6.2.5 題型五、遞推公式問題 124
6.2.6 題型六、分段函式問題 125
6.2.7 題型七、隱函式的積分 126
6.3 深化訓練 126
6.4 深化訓練詳解 128
第7章 定積分 134
7.1 知識要點 134
7.1.1 定積分的概念 134
7.1.2 定積分的基本性質 135
7.1.3 積分中值定理 135
7.1.4 變上限積分函式 136
7.1.5 定積分的計算 136
7.1.6 反常積分（或廣義積分） 136
7.1.7 函式 137
7.1.8 定積分的套用 137
7.1.9 幾個重要的結論 139
7.2 典型例題分析 140
7.2.1 題型一、定積分的求解 140
7.2.2 題型二、 變限積分問題 141
7.2.3 題型三、積分不等式問題 142
7.2.4 題型四、積分等式問題 146
7.2.5 題型五、反常積分問題 148
7.2.6 題型六、積分的套用問題 149
7.2.7 題型七、定積分的其他問題 153
7.3 深化訓練 156
7.4 深化訓練詳解 158
第8章 多元函式微分學 166
8.1 知識要點 166
8.1.1 二元函式的極限與連續性 166
8.1.2 偏導數 166
8.1.3 高階偏導數 167
8.1.4 全微分 168
*8.1.5 方嚮導數與梯度 168
8.1.6 多元複合函式微分法 169
8.1.7 隱函式微分法 169
8.1.8 多元函式的極值 169
8.1.9 條件極值與拉格朗日乘數法 170
8.1.10 多元函式的最值 170
8.2 典型例題分析 170
8.2.1 題型一、多元函式的極限與連續問題 170
8.2.2 題型二、偏導數的概念問題 172
8.2.3 題型三、多元函式的全微分問題 174
*8.2.4 題型四、多元函式的方嚮導數和梯度的求解 176
8.2.5 題型五、多元函式的複合求導與隱函式求導問題 177
8.2.6 題型六、多元函式的極值和最值問題 183
8.2.7 題型七、多元函式微分學的綜合問題 185
8.3 深化訓練 187
8.4 深化訓練詳解 189
第9章 多元函式積分學 192
9.1 知識要點 192
9.1.1 二重積分的概念 192
9.1.2 二重積分的性質 192
9.1.3 直角坐標系下二重積分的計算 193
9.1.4 極坐標系下二重積分的計算 193
9.1.5 二重積分的對稱性原理 194
*9.1.6 二重積分的換元公式 194
*9.1.7 三重積分的概念 195
*9.1.8 三重積分的計算 195
*9.1.9 三重積分的換元法 196
*9.1.10 三重積分的對稱性原理 196
9.2 典型例題分析 197
9.2.1 題型一、二重積分的概念與性質問題 197
9.2.2 題型二、二重積分的基本計算方法 198
9.2.3 題型三、分段函式的二重積分 200
9.2.4 題型四、利用對稱性原理計算二重積分 201
9.2.5 題型五、二重積分的換元積分法 205
9.2.6 題型六、二重積分的套用問題 206
9.2.7 題型七、二重積分的相關證明 207
9.2.8 題型七、二重積分的綜合問題 209
*9.2.9 題型八、三重積分的性質與計算 214
9.3 深化訓練 218
9.4 深化訓練詳解 220
第10章 常微分方程 224
10.1 知識要點 224
10.1.1 微分方程的基本概念 224
10.1.2 一階微分方程的解法 224
10.1.3 可降階的二階微分方程 225
10.1.4 二階線性微分方程解的結構 226
10.1.5 二階常係數線性微分方程的解法 226
*10.1.6 高階線性微分方程 227
*10.1.7 歐拉方程 227
10.2 典型例題分析 228
10.2.1 題型一、可分離變數微分方程與齊次微分方程的求解 228
10.2.2 題型二、一階線性微分方程與伯努利方程的解法 229
10.2.3 題型三、全微分方程的解法 231
10.2.4 題型四、可降階的二階微分方程的解法 232
10.2.5 題型五、二階線性微分方程解的結構 233
10.2.6 題型六、二階常係數線性微分方程的解法 234
10.2.7 題型七、微分方程的綜合問題 237
*10.2.8 題型八、微分方程建模問題 242
10.3 深化訓練 245
10.4 深化訓練詳解 247
第11章 無窮級數 252
11.1 知識要點 252
11.1.1 數項級數的定義與性質 252
11.1.2 級數斂散性的判別 253
11.1.3 三個重要的級數 254
11.1.4 函式項級數的概念 254
11.1.5 冪級數的有關概念 255
11.1.6 冪級數的和函式的性質 255
11.1.7 初等函式展開成x?x0的冪級數 256
*11.1.8 函式項級數的一致收斂性及性質 256
*11.1.9 傅立葉級數 257
11.2 典型例題分析 259
11.2.1 題型一、正項級數斂散性的判定 259
11.2.2 題型二、任意項級數斂散性的判定 265
11.2.3 題型三、函式項級數收斂域的求解 268
11.2.4 題型四、級數收斂充要條件的套用 269
11.2.5 題型五、求解數項級數的和 273
11.2.6 題型六、冪級數收斂半徑及收斂域的求解 276
11.2.7 題型七、求解冪級數的和函式 278
11.2.8 題型八、函式的冪級數展開 283
*11.2.9 題型九、傅立葉級數的相關問題 286
11.2.10 題型十、無窮級數的套用問題 287
11.3 深化訓練 288
11.4 深化訓練詳解 291
*第12章 空間解析幾何與向量代數 302
12.1 知識要點 302
12.1.1 向量的概念及線性運算 302
12.1.2 平面方程及其相關概念 303
12.1.3 直線及其表示 303
12.1.4 曲面及其表示 304
12.1.5 空間曲線 304
12.2 典型例題分析 305
12.2.1 題型一、向量的運算問題 305
12.2.2 題型二、空間直線、平面方程的求解 305
12.2.3 題型三、討論直線與平面的位置關係 307
12.2.4 題型四、旋轉曲面方程的求解 308
12.2.5 題型五、空間曲線、曲面問題 309
12.3 深化訓練 310
12.4 深化訓練詳解 311
*第13章 曲線積分與曲面積分 313
13.1 知識要點 313
13.1.1 第一類曲線積分的概念及計算 313
13.1.2 第二類曲線積分的概念及計算 314
13.1.3 格林公式及其套用 315
13.1.4 第一類曲面積分的概念與計算 315
13.1.5 第二類曲面積分的概念與計算 316
13.1.6 高斯公式與斯托克斯公式 318
13.2 典型例題分析 319
13.2.1 題型一、第一類曲線積分的求解 319
13.2.2 題型二、第二類曲線積分的求解 319
13.2.3 題型三、格林公式的套用 322
13.2.4 題型四、第一類曲面積分的求解 328
13.2.5 題型五、第二類曲面積分 的求解 332
13.2.6 題型六、高斯公式的套用 332
13.2.7 題型七、斯托克斯公式的套用 335
13.2.8 題型八、曲線、曲面積分的實際套用 336
13.3 深化訓練 338
13.4 深化訓練詳解 340
第二十四屆北京市大學生數學競賽試題
（經濟管理類） 348
第二十五屆北京市大學生數學競賽試題
（經濟管理類） 350
第五屆全國大學生數學競賽預賽試題
（非數學類） 352
第六屆全國大學生數學競賽預賽試題
（非數學類） 353
第二十四屆北京市大學生數學競賽試題
（經濟管理類）解答 354
第二十五屆北京市大學生數學競賽試題
（經濟管理類）解答 358
第五屆全國大學生數學競賽預賽試題
（非數學類）解答 363
第六屆全國大學生數學競賽預賽試題
（非數學類）解答 368
參考文獻 372
