馬氏過程及交叉領域的新探索

《馬氏過程及交叉領域的新探索》是依託北京師範大學，由陳木法擔任項目負責人的重點項目。

基本介紹

• 中文名：馬氏過程及交叉領域的新探索
• 依託單位：北京師範大學
• 項目負責人：陳木法
• 項目類別：重點項目

項目摘要

圍繞與馬氏過程相關的若干核心問題，致力於發展馬氏過程的理論與方法，向其他的數學分支學科交叉滲透，並套用於排隊論及傳輸問題等套用基礎研究。研究內容包括：發展分析與機率工具給出馬氏過程穩定性的各種定量估計；通過研究黎曼流形上的隨機分析, 刻畫熱半群的性質與幾何量之間的關係從而套用於幾何分析的研究；研究帶互動作用的粒子系統與測度值過程及其在統計物理和生物遺傳學中的套用；通過研究馬氏過程的對偶理論使用簡單過程來刻畫複雜的過程, 以便將關於簡單情形的有關結果推廣到更一般情形；使用馬氏過程的理論和研究成果，研究排隊網路問題；通過發展耦合方法研究隨機偏微分方程半群的正則性(強Feller性、梯度估計、Harnack不等式等)，並研究帶跳帶具奇異係數的隨機偏微分方程。

結題摘要

五年中, 圍繞若干核心問題，我們發展了馬氏過程的理論與方法。既套用於排隊論及傳輸問題等套用基礎研究，也與其他的數學分支學科交叉滲透。主要研究內容包括：發展了分析與機率工具，給出了多種馬氏過程穩定性的各種定量估計，從Poincaré型不等式過渡到Hardy 型不等式，從無位勢拓展到帶位勢情形；在帶邊Riemann流形上引入新的幾何量，它既包含Ricci曲率的信息又反映邊界的凹凸性，統一刻畫反射擴散過程的各種性質；在路徑空間上建立泛函不等式以及反射擴散過程分布的傳輸不等式，它們是刻畫路徑空間上無窮維擴散過程性質的重要工具；發展變測度耦合方法並結合Malliavin分析對於多種隨機偏微分方程建立導數公式、分部積分公式和Harnack不等式，並套用於相應半群的梯度估計、熱核估計以及各種壓縮的研究；建立的一類由Gauss噪聲和Poisson噪聲驅動的隨機積分方程，已經成為連續狀態分枝過程的主要方法之一，也成為某些相關研究的有效工具；得到了有限跳幅及帶型上隨機環境中隨機遊動的內蘊分枝結構，套用這一基礎工具，進一步研究了隨機環境中隨機遊動的局部時極限, 以及Lamperti隨機遊動的局部時及其平穩分布的性質。 我們組織了7次國際學術會議，以本項目的科研成果為基礎，共完成專著2部，2篇專著中章節，發表論文110篇，其中研究生獨立完成10篇。