餘子空間

基本介紹

定義設W是線性空間V的一個子空間，如果V還有一個子空間W',滿足：

V=W+W',W∩W' ={0}，

我們就把W'叫做是W的一個餘子空間。

此時，我們說V是子空間W與W'的直和，並記作：

V = W⊕W'.

很明顯，如果W'是W的一個餘子空間，那么W也是W'的一個餘子空間。

子空間的和子空間的和是子空間的一種運算，設V是域P上的線性空間，V₁，V₂，…，V_s是V的子空間，若：

S={α₁+α₂+…+α_s|α_i∈V_i，i=1，2，…，s}，

則S是V的子空間，稱為子空間V₁，V₂，…，V_s的和，記為V₁+V₂+…+V_s；子空間V₁，V₂，…，V_s的集合交V₁∩V₂∩…∩V_s也是V的子空間，稱為V₁，V₂，…，V_s的交，設dim V=n，ε₁，ε₂，…，ε_n是V的基，若V₁是V的子空間，則dim V₁≤n，當dim V₁<n，及ε′₁，ε′₂，… ，ε′_m為V₁的基時，必存在ε′_m+1，…，ε′_n使ε′₁，ε′₂，…，ε′_n為V的基，由ε′_m+1，…，ε′_n生成的子空間V₂稱為V₁的餘子空間(或補子空間)。V₁與它的餘子空間V₂的和V₁+V₂=V，它們的交V₁∩V₂={0}，此時，又稱V為V₁與V₂的直和。