非Lorenz型的有奇點流的動力學

《非Lorenz型的有奇點流的動力學》是依託蘇州大學，由楊大偉擔任項目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：非Lorenz型的有奇點流的動力學
• 項目類別：面上項目
• 項目負責人：楊大偉
• 依託單位：蘇州大學

項目摘要

向量場生成的流的動力學是微分動力系統的一個中心議題。系統是否有奇點,其動力學有很大的差異。若系統無奇點，則其動力學大體上平行於微分同胚的理論。但若系統有奇點,特別是若奇點被回復常點所逼近,則其動力學研究具有微分同胚理論無法比擬的困難。著名的Lorenz吸引子就是一例，它有一奇點在擾動下始終被周期軌道所逼進。對Lorenz型系統的研究構成了微分動力系統的一個重要篇章，取得了很多重要結果。但對於奇點被回復常點所逼進的非Lorenz型系統的研究，目前還知之甚少，只有少數幾個結果。但這少數幾個結果已經展示了值得注意的新的、精彩的動力性態。我們覺得這部分研究應該受到關注。我們將著重探索這片廣袤的未知領域。

結題摘要

微分動力系統的一個研究目標是刻畫多數系統的多數行為。這起源於Peixoto在上世紀60年代的一個工作：他證明了多數的曲面向量場都是Morse-Smale的。 Peixoto的定理在高維並沒有簡單直接的推廣。Smale首先構造了著名的Smale馬蹄來說明高維向量場可能持續具有無窮多雙曲周期軌道，從而不可能是Morse-Smale的。 為完成三維向量場的全局刻畫，受Lorenz構造的Lorenz吸引子影響，一類被稱為幾何Lorenz吸引子的動力學行為是一定要被考慮的。幾何Lorenz吸引子中雖然含有Smale馬蹄，但整體卻不像Smale馬蹄一樣具有一致雙曲結構。幾何Lorenz吸引子特殊的複雜性機制在於：其含有奇點（也就是向量場的零點），並且這個奇點可以被回復的常點持續地逼近。 幾何Lorenz吸引子雖然沒有整體一致雙曲結構，但也具有很強的雙曲性。Morales、Pacifico、Pujals等人用奇異雙曲性這個概念來刻畫更加一般的具有Lorenz型結構的吸引子。奇點對動力學的影響是這類問題研究的重點。如何刻畫幾何Lorenz吸引子、奇異雙曲吸引子以及更加一般的具有奇點的不變集合的幾何與遍歷性質成為了微分動力系統的關注點之一。 受此項目資助，申請人主要研究了奇異雙曲系統之外的動力學的典型行為、奇異雙曲吸引子的遍歷性質、弱Palis猜測的向量場形式以及相關問題。在此項目資助下，目前申請人已經發表論文3篇，接受待發表1篇，投稿5篇，另有若干篇即將完成投稿的論文。 所發表論文多集中在動力系統的整體刻畫，特別是國際數學聯盟前主席Palis提出的一系列相關猜想。所發表論文（含接受）包含法國巴黎的高等師範學院年刊等國際上有影響的學術期刊。