非線性雙曲系統的控制與最佳化

《非線性雙曲系統的控制與最佳化》是依託同濟大學，由尚培培擔任項目負責人的青年科學基金項目。

基本介紹

• 中文名：非線性雙曲系統的控制與最佳化
• 項目類別：青年科學基金項目
• 項目負責人：尚培培
• 依託單位：同濟大學

中文摘要

非線性雙曲系統具有很強的套用背景，可廣泛套用於物理、生物、力學以及工業生產。由此類系統支配的實際問題的分析與控制屬於近代數學研究中一個十分活躍的前沿研究方向。關於非線性雙曲系統的理論研究，雖已有很多結果，但由於實際問題的複雜性和多樣性，研究相應的模型在理論上往往有較大的難度，在數學上是一個挑戰，但如果能結合實際對模型進行深入透徹的研究，便可以更好地解釋現象的本質，為實際問題提供理論依據。本課題主要研究非線性雙曲系統在三個具有很強實際背景的新模型中的套用，研究其與實際問題緊密相關的控制以及最佳化問題。

結題摘要

非線性雙曲系統具有很強的套用背景，可廣泛套用於物理、生物、力學以及工業生產。關於非線性雙曲系統的理論研究，雖已有很多結果，但由於實際問題的複雜性和多樣性，研究相應的模型在理論上往往有較大的難度，在數學上也是一個挑戰。本課題主要研究非線性雙曲系統在三個具有很強實際背景的新模型中的套用，研究其與實際問題緊密相關的控制以及最佳化問題。 在研究卵泡生長發育模型的過程中，由於無限維情形的混合最優控制問題研究起來比較困難，我們首先從有限維情形出發，研究了一個朊病毒的分裂生長模型。相關的控制問題是找到最優控制使得朊病毒的數量指標在給定時間達到最大，我們發現此時最優控制有奇性， 通過進一步分析，得到了最優bang-singular-bang控制結果，並對二維情形，解析地計算出了最優控制函式。 擠壓機是一個桶狀物，外壁有加熱裝置，內部含一個螺旋槳。在輸入口輸入原材料，通過螺旋槳的旋轉來擠壓並輸出成品。我們研究的模型，是定義在兩個區域（原材料部分填充區域及原材料完全填充區域）上通過移動邊界耦合起來的傳輸方程，我們研究這個模型的適定性、節點能控性以及穩定性問題。我們用變數代換的方法將移動邊界問題轉化為固定邊界問題，再選取合適的解空間，利用經典的特徵線法證明了解的存在唯一性，在此基礎上得到與實際問題相關的節點狀態能控性結果，同時通過對輸出端的壓力差進行測量，通過選取合適的反饋控制，證明了解在平衡態的穩定性。 KdV方程最早是用來描述河渠中水波的傳播過程，但現實中水渠總是有長度的，當水渠長度屬於某種臨界集合時，線性化系統不是指數漸近穩定的，從而無法得到非線性系統相應的穩定性結果，我們首次利用中心流形的方法證明當KdV方程空間變數的長度是第一類臨界值時解在零點的局部漸近穩定性，克服了此種情況線性化方法無法解決的難題，這也是一直以來KdV方程能控性及穩定性問題研究的瓶頸。同時，我們發現可以將此方法套用到第二類臨界長度，並對其中一種特殊情況得到了相應的局部漸近穩定性結果。