非線性軟物質彈性材料的數值計算研究

《非線性軟物質彈性材料的數值計算研究》是依託北京大學，由李治平擔任項目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：非線性軟物質彈性材料的數值計算研究
• 依託單位：北京大學
• 項目負責人：李治平
• 項目類別：面上項目

項目摘要

高分子聚合物、生物軟組織等軟物質材料會呈現出許多不同尋常的非線性物理現象。本項目將針對橡膠、高分子複合材料、肌肉、皮膚等軟物質彈性材料的若干非線性物理現象，如空穴的生成與塌縮、褶皺的斑圖形成與演化、生物軟組織在生長及外環境作用下的損傷等方面的問題開展數學物理建模、算法設計與分析、數值模擬等方面的科學計算研究。我們將套用處於迅速發展之中的非線性偏微分方程、非線性變分學、多尺度分析、非線性最最佳化等非線性分析的理論和方法，以及有限元自適應和格線變換、廣義有限元等工具，研究相應的非線性偏微分方程和變分問題的奇性解、分歧解、多解、超大變形解、多尺度解等的高效的數值算法，並通過大量的數值實驗模擬相應的非線性物理現象。作為算法研究的基礎工作，本項目將深入研究格線自適應方法和格線變換法、多尺度局部有限元形函式和廣義有限元方法、非線性最最佳化方法，尤其是高效的求解鞍點問題的非線性最最佳化方法等。

結題摘要

高分子聚合物、生物軟組織等軟物質材料會呈現出許多不同尋常的非線性物理現象。本項目針對橡膠、高分子複合材料、肌肉、皮膚等軟物質彈性材料的若干非線性物理現象，如空穴的生成與相互作用、褶皺與翹曲的形成與演化機理等方面的問題開展了數學物理建模、算法設計與分析、數值模擬等方面的科學計算研究。針對與非線性彈性軟物質材料空穴生成現象及電話線型薄膜翹曲相應的非線性偏微分方程和變分問題的奇性解、分歧解、多解、超大變形解等提出了若干新的高效的數值算法，例如：計算空穴問題的雙參和等參三角形有限元方法、雙二次雙參和等參矩形有限元方法；計算電話線型薄膜翹曲的多端點型擬譜方法等，通過大量的數值實驗成功有效地模擬了相應的非線性物理現象，並首次成功地給出了雙二次雙參矩形有限元方法空穴計算算法的數值分析結果，該結果不僅為雙二次雙參矩形有限元方法空穴計算的可靠性和有效性提供了理論基礎，也為空穴計算數值分析探出了一條可行的途徑。作為算法研究的基礎工作，本項目還開展了高效求解非對稱鞍點問題的非線性最最佳化方法，並成功地給出了若干有效的新算法，例如：連續形式的Gauss-Newton方法、新型Uzawa 型算法等。