非線性不適定問題的非光滑解的若干數值方法研究

《非線性不適定問題的非光滑解的若干數值方法研究》是依託哈爾濱工業大學，由李莉擔任項目負責人的數學天元基金項目。

基本介紹

• 中文名：非線性不適定問題的非光滑解的若干數值方法研究
• 依託單位：哈爾濱工業大學
• 項目類別：數學天元基金項目
• 項目負責人：李莉

項目摘要

動力系統方法是求解非線性不適定問題的一個行之有效的方法。參數識別問題是動力系統理論中較為典型的問題。如果問題中待反演的參數是光滑的，連續的，動力系統方法反演的效果較好。在待反演的參數是不連續的，非光滑的情況下，甚至是待反演的結構異常時，原有的方法會造成反演失真。針對這類參數反演問題，可考慮水平集方法和全變分正則化方法。其中水平集方法對於分段的參數（如階梯狀的參數）反演效果較好；而全變分正則化方法對於邊界存在尖角、突變、結構異常的問題，效果突出。因此，鑒於水平集方法和全變分方法各自具有的特性，基於動力系統模型，本項目提出了水平集-動力系統方法和全變分-動力系統方法反演不連續參數，並利用動力系統理論中的Lyapunov穩定性理論研究所提方法的穩定性，給出收斂率。本項目的開展是對求解非線性反問題的動力系統方法的有效補充和完善。

結題摘要

為了克服傳統方法不能有效反演不連續解的弊端，本項目基於動力系統模型，將水平集技巧和全變分方法分別引入動力系統中，構造出水平集—動力系統方法和全變分—動力系統方法反演不連續參數。參數識別問題一直是理論上，特別是實際套用中引人關注的焦點問題。正如項目申請書中所言，如果待反演的參數是不連續的，非光滑的，甚至是邊界是帶有尖角的、結構異常的，原有的正則化方法可能會模糊了參數本身的間斷性，造成反演失真。本項目基於Sobolev空間中正演偏微分方程的可解性和穩定性，首先提出了識別非線性拋物分散式參數的水平集—動力系統方法。當方法滿足一定的停止法則時，利用水平集本身具有的性質，用Lyapunov穩定性理論分情況討論了水平集—動力系統方法的收斂性。並通過具體算例，驗證了水平集—動力系統方法識別分散式參數的實際效用。隨後，類似於Runge-Kutta型疊代方法，引入Bregman距離，構造了Runge-Kutta型全變分正則化方法反演非光滑參數。給出正則化參數的選取標準，在恰當的停止準則下，分析R-K型全變分正則化方法的收斂性，並證明其穩定。最後通過兩個具體的數值算例驗證方法的可行性。（《Runge-Kutta type total variation regularization for nonlinear inverse problems》狀態：已投 under-review。）此外，水平集方法中導數的計算量在整個運算過程中占據較大比重，造成問題求解困難。且源條件及非線性運算元的Fréchet導數在實際中很難得到合理的解釋，因此，引入Philipp提出的無導數的思想，提出修正的水平集—動力系統方法。該部分研究內容正在進行中。