霍普夫一雷諾定理(Hopf-Rinow theorem)刻畫黎曼流形完備性的重要定理.若連通黎曼流形M上的任意一條測地線可以無限地延伸，則M上任意兩點都可以用一條最短測地線連線起來.霍普夫<Hopf , H.)和雷諾(Rinow, W.)原先是對連通曲面證明上述定理的.在現行的教科書中把霍普夫一雷諾定理敘述成更便於套用的形式.對於連通黎曼流形M。
等價條件
下列斷言是彼此等價的:
- M是完備的.
- .在M上任意一條測地線可以無限地延伸.
3.在M上存在一點p，使得從p點出發的測地線可以無限地延伸.
4. M中的有界閉子集是緊緻的.
在建立上述斷言的等價性時，通常採取如下的步驟:1}2}3}4}1，其中關鍵步驟是3}4，霍普夫一雷諾定理的原本形式在這一環節中起實質性作用.另外，斷言2和3還經常敘述成如下的等價形式:
2'. d xEM，指數映射exp二在整個切空間T,.M上有定義.
3'.在M中存在一點x，使得指數映射exp二在整個切空間T=M上有定義.
霍普夫一雷諾定理的作用是把黎曼流形作為度量空間的完備性用測地線的無限可延性來刻畫，從而使得黎曼流形的完備性假定成為研究大範圍黎曼幾何的最適宜的條件.
