用系統圖解方程的一種方法.能決定系統的將來行為的一個系統變數的極小集，稱為系統的狀態變數集。由系統圖的一個特徵樹可得到一個系統變數集及相應的微分方程組，這樣求解系統的方法稱為狀態變數法。在電路分析中套用狀態變數法即為電路的狀態變數分析。狀態變數分析法是以系統內部變數為基礎建立的系統方程。由於它可以引用控制系統理論的概念、方法，又適宜於計算機的數值求解，所以不僅對於單輸入單輸出系統的分析，而且更適用於多輸入多輸出系統、非線性系統以及時變電路的分析。
自20世紀60年代開始，作為現代控制理論基礎的狀態變數法在系統分析中得到廣泛套用。此方法的主要特點是利用描述系統內部特性的狀態變數取代僅描述系統外部特性的系統函式，並且將這種描述十分便捷的套用於多輸入——多輸出系統。此外，狀態空間方法也成功地用來描述非線性系統或時變系統，並且易於藉助計算機求解。
基本介紹
- 中文名：電路中的狀態變數分析
- 外文名：state variable analysis
- 套用領域：現代控制理論
定義,相關名詞解釋,狀態變數分析法的優點,系統狀態方程的建立,連續時間系統狀態方程的普遍形式,離散系統的狀態方程普遍形式,建立動態電路的狀態方程的步驟,系統狀態方程的求解,連續時間系統狀態方程的求解,離散時間系統狀態方程的求解,由狀態方程判定系統的穩定性,連續系統穩定性判別,離散系統穩定性判別,
定義
用系統圖解方程的一種方法。能決定系統的將來行為的一個系統變數的極小集，稱為系統的狀態變數集。由系統圖的一個特徵樹可得到一個系統變數集及相應的微分方程組，這樣求解系統的方法稱為狀態變數法。在電路分析中套用狀態變數法即為電路的狀態變數分析。
對於電路分析而言，注意以下兩點：
第一，用任意瞬時的狀態值和在此以後的激勵可以唯一地確定的任意時的狀態。
第二，用任意瞬時的狀態值和此瞬時以後的激勵值就可以唯一地確定此瞬時電路中所有變數的值。
其中用來定義電路狀態的變數，則稱為狀態變數。
相關名詞解釋
狀態：
對於一個動態系統的狀態是表示系統的一組最少變數（稱為狀態變數）。只要知道 時這組變數和時的輸入，那么就能完全確定系統在任何時間的行為。
狀態變數：
能夠表示系統狀態的那么變數稱為狀態變數。
狀態矢量：
能夠完全描述一個系統行為的n個狀態變數構成了狀態矢量。如一個二維矢量：
狀態空間：
狀態矢量λ(t)所在的空間。如果一個系統需要n個狀態變數來描述，則狀態矢量是n維矢量，對應的狀態空間就是n維空間。
狀態軌跡：
在狀態空間中狀態矢量端點隨時間變化所描出的路徑稱為狀態軌跡。
狀態方程：
描述狀態變數變化規律的一組一階微分方程組。各方程的左邊是狀態變數的一階導數，右邊是包含有系統參數，狀態變數和激勵的一般函式表達式，不含變數的微分和積分運算。
輸出方程：
描述系統輸出與狀態變數之間的關係的方程組。各方程左邊是輸出變數，右邊是包括系統參數，狀態變數和激勵的一般函式表達式，不含變數的微分和積分運算。
對於離散時間系統，其狀態變數和狀態方程的描述類似，只是狀態變數都是離散量，因而狀態方程是一組一階差分方程，而輸出方程則是一組離散變數的線性代數方程。
以上圖二階電路為例，其狀態方程組可以寫為：
注意：一個電路的狀態變數不是唯一的，但必須是獨立的，且是最少個數的。
狀態變數分析法的優點
用狀態變數分析系統的優點在於：
(1) 便於研究系統內部的一些物理量的變化規律，這些物理量可以用狀態矢量的一個分量來表示。
(2) 這種以矢量和矩陣表示的系統的數學模型適用於描述多輸入-多輸出系統。
(3) 由於系統的狀態方程都是一階微分方程或一階差分方程，便於採用數值解法，便於計算機求解。
系統狀態方程的建立
連續時間系統狀態方程的普遍形式
如果系統是線性時不變的，則狀態方程和輸出方程是狀態變數和輸入信號的線性組合。即：
如果用矢量矩陣表示，即狀態方程為：
其中，C為r×n的輸出矩陣，D為r×m的矩陣。
離散系統的狀態方程普遍形式
如果系統是線性時不變系統，則狀態方程和輸出方程是狀態變數和輸入信號的線形組合。
狀態方程和輸出方程可以看出，這是由輸入量、輸出量。狀態變數以及聯繫它們之間關係的A、B、C、D矩陣組成。即，狀態方程和輸出方程可以簡寫為：
建立動態電路的狀態方程的步驟
（1）我們一般以獨立電容電壓及獨立電感電流作為狀態變數；
（2）需要對含有一個電容同時允許包含電感、電阻及電流源的節點（或者割集）列寫KCL方程。
對含有一個電感同時允許包括電容、電阻和電壓源的迴路列寫KVL方程，即可列出系統的狀態方程。因為狀態方程的左邊是狀態變數的導函式
，
。從元件的伏安特性可知， 與電容的電流有關， 與電感的電壓有關。
（3）上述所列方程中，若含有除激勵以外的非狀態變數，則利用適當的節點電流方程或迴路電壓方程將它們消去然後整理成一般形式。
此外，還可以通過信號流圖或模擬框圖來間接列寫系統的狀態方程。
系統狀態方程的求解
連續時間系統狀態方程的求解
求解狀態方程有時域和變換域兩種解法，此處以變換域求解為例介紹其求解方法。
（a）矩陣形式的狀態方程為：
其中I是n×n的單位矩陣。如果(sI-A)是可逆的，則有
對上式進行拉普拉斯反變換得：
（b）輸出方程的一般形式為：
（c）系統函式
當
，由上式可知系統的零狀態回響的拉普拉斯變換為
所以系統函式矩陣為：
矩陣H(s)第l行第k列元素Hlk(s)確定了系統第k個輸入對第l個輸出的貢獻。
離散時間系統狀態方程的求解
（a）已知離散時間系統的狀態方程和輸出方程為：
將上式兩邊取z變換，得：
對上式進行逆反變換得：
（b）輸出方程的一般形式為
由狀態方程判定系統的穩定性
連續系統穩定性判別
上式的根在s平面上的位置決定了系統的穩定情況。只要知道它的根落在s平面的左半平面，系統就是穩定的。
離散系統穩定性判別
如果系統穩定，則要求矩陣A的特徵值
，即系統的特徵根位於單位圓內。
採用特徵根判別系統的穩定性時，需要求解系統的特徵根。如果遇到高階方程，求解特徵根的計算有一定的複雜性。對於二階線性定常系統，可以不用求出特徵根而直接判別二階線性定常系統穩定性的充要條件。
【定理】如果一個特徵多項式為
當二階線性定常系統的兩個特徵根全部位於平面的單位圓中時，系統穩定的充分必要條件為：
