隨機分析引論

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本書內容包括機率論基礎介紹，離散時間鞅論，連續時間鞅論，布朗運動構造和性質，隨機積分理論，伊藤公式及其套用，隨機微分方程簡介．本書以基礎機率論為起點，重點講述鞅論與隨機積分，深入淺出，內容涵蓋了20世紀隨機分析方向的主要的基礎性成果，在強調整個理論方面邏輯嚴謹的同時，也注重問題的直觀背景及套用前景．全書各節還配備一定數量的習題，以幫助學生更好地理解和掌握隨機過程理論的思想和方法．

內容簡介

人類的文明進步和社會發展，無時無刻不受到數學的恩惠和影響，數學科學的套用和發展牢固地奠定了它作為整個科學技術乃至許多人文學科的基礎地位，當今時代，數學正突破傳統的套用範圍向幾乎所有的人類知識領域滲透，它和其他學科的互動作用空前活躍，越來越直接地為人類物質生產與日常生活作出貢獻，也成為其掌握者打開眾多機會大門的鑰匙。
隨機分析理論是20世紀40年代從Ito關於Brown運動的隨機積分以及50年代Doob的鞅理論開始發展起來的，它看上去像是經典的Stieltjes積分理論的一個推廣，但實際上並非如此，它自身深刻的背景使得它獨立於經典分析理論，非常漂亮，後來人們還發現，在量化金融理論中，隨機分析幾乎所有著名的概念與定理都有實際的對應。因此隨機分析是數學中理論先於實踐的典型範例。
《隨機分析引論/復旦大學數學研究生教學用書》重點講授連續時問連續鞅的隨機分析理論，為了說清楚這個理論，我們需要介紹條件期望、鞅論，需要構造一個重要的隨機過程：Brown運動，然後運用泛雨中的方法來定義關於Brown動的積分，稱為隨機積分，它與通常的積分有相同的地方，也有不同的地方，隨機積分還有類似於通常的微積分基本定理的Ito公式，這些結果可以完美地解釋金融中的期權定價理論。

圖書目錄

第一章預備知識
1．1 可測結構
1．2 隨機變數與收斂性
1．3 特徵函式
1．4 條件數學期望
1．5 習題與解答
第二章鞅論基礎
2．1 離散時間鞅
2．2 流與停時
2．3 連續時間鞅
2．4 習題與解答
第三章 Brown運動
3．1 隨機過程與無窮維空間上的機率測度
3．2 熱核半群與Brown運動
3．3 Brown運動的構造
3．4 Brown運動的性質
3．5 Brown運動的變差
3．6 習題與解答
第四章 Ito積分
4．1 引論
4．2 經典隨機積分
4．3 二次變差過程
4．4 連續鞅的隨機積分
4．4．1 關於連續平方可積鞅的隨機積分
4．4．2 Kunita-Watanabe不等式
4．4．3 擴展至連續局部鞅
4．4．4 擴展至連續半鞅
4．5 習題與解答
第五章 Ito公式及其套用
5．1 Ito公式
5．2 Ito公式的套用
5．2．1 隨機指數
5．2．2 Levy的Brown運動鞅刻畫
5．2．3 連續局部鞅是Brown運動的時間變換
5．2．4 Girsanov定理
5．2．5 鞅表示定理
5．3 習題與解答
第六章隨機微分方程
6．1 引論
6．2 隨機微分方程的一些例子
6．2．1 線性Gauss擴散
6．2．2 幾何Brown運動
6．2．3 Cameron-Martin公式
6．3 隨機微分方程基本定理
6．4 強解：存在唯一性
6．5 鞅與弱解
6．6 習題與解答
參考文獻

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