《關於Neumann型系統及其套用的研究》是依託東南大學，由陳金兵擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：關於Neumann型系統及其套用的研究
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：陳金兵
- 依託單位：東南大學
中文摘要,結題摘要,
中文摘要
本項目擬將以譜分析、代數曲線理論為工具，結合Lax對非線性化、跡公式、Jacobi反演及雙線性生成函式研究：(1)可積非線性發展方程在辛子流形上的Neumann型有限維可積約化；(2)Neumann型系統的Liouville可積性證明及約束Neumann型流作用的有限維不變子空間；(3)Neumann型系統與無窮維可積系統之間的內在聯繫；(4)約束Neumann型流在Riemann面Jacobi簇上的演化規律；(5)可積非線性發展方程的有限帶勢的代數幾何構造。由此，研究內容將豐富有限維可積系統的研究對象，嫁接Neumann型系統與代數曲線之間的橋樑，發展一個系統、有效的方式途經Neumann型系統尋求可積非線性發展方程的有限帶解及其Riemann theta函式表示。
結題摘要
我們嚴格按照原計畫開展了有關研究，圓滿完成了各項預定任務。基於Lax對非線性化，實現了1＋1維可積非線性發展方程族和部分2＋1維可積系統在辛子流形上的有限維可積約化，從而在理論上簡化其顯式求解問題，並獲取一批新Neumann型系統(Neumann系統的一般推廣)。區別於文獻中已有的Moser約束方法和r-矩陣理論，提供一個行之有效的系統方式一舉證明一族Neumann型系統的Liouville可積性。對於Neumann型系統與無窮維可積系統之間的內在聯繫，我們發現Neumann型系統的對合解經Neumann映射直接生成1＋1和2＋1維可積非線性發展方程的有限參數解及其有限帶勢；此外，我們還指出所得Neumann型系統在Riemann面Jacobi簇上的流演化速度恰等於代數曲線的規範全純微分基底在無窮遠點的漸近展式係數，為溝通有限維系統的可積性和代數曲線理論提供了一個重要事實。綜上所述，本項目從另一個層面，致力於套用Neumann型系統尋求1＋1和2＋1維可積系統的有限帶勢及其Riemann theta函式表示。相關研究成果已出版在Stud. Appl. Math.，Dynamics of PDE，J. Math. Phys.，Math. Phys. Anal. Geom., J. Nonlinear Math. Phys.等SCI雜誌上，部分結果還分別在中國科學院武漢物理與數學研究所，洛桑聯邦理工學院以及University of Texas-Pan American作了報告，並獲得好評。進一步更深入的成果正在整理加工當中，待發表。
