《重橢圓方程的弱有限元方法研究》是依託南京師範大學，由王春梅擔任項目負責人的數學天元基金項目。
基本介紹
- 中文名：重橢圓方程的弱有限元方法研究
- 項目類別：數學天元基金項目
- 項目負責人：王春梅
- 依託單位：南京師範大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
弱有限元(WG)方法最早在2011年由Junping Wang和Xiu Ye提出, 是求解偏微分方程數值解的一種新型高效的數值方法. 重橢圓方程起源於螢光分子斷層成像(FMT)模型, 形式上可看作廣義重調和方程, 但和重調和方程存在本質的區別. FMT是使用活體非侵害深度分辨局部化和量化螢光標記夾雜物的一種新興的三維光學成像模式. FMT廣泛地套用在早期癌症探測, 腫瘤切除術以及藥物監測和開發. 由於經典的有限元方法尚不能有效求解此重橢圓方程, 本項目擬研究求解重橢圓方程的WG方法, 雜交WG(HWG)方法, 及其快速算法和超收斂性, 以促進FMT在醫學, 生物和工程等領域的套用. 本項目擬從以下方面開展研究: (1)研究求解重橢圓方程的WG方法; (2)研究所提出WG方法的穩定性, 收斂性以及超收斂性; (3)研究求解重橢圓方程的HWG方法; (4)研究所提出WG/HWG方法的快速算法.
結題摘要
本項目研究了高效求解重橢圓方程的弱有限元(WG)方法。重橢圓方程起源於螢光分子斷層成像(Fluorescence Molecular Tomography), 簡稱FMT, 模型. FMT廣泛地套用在早期癌症探測, 腫瘤切除術以及藥物監測和開發. Shui-Nee Chow, Ke Yin和Haomin Zhou於2013年提出了求解FMT模型的正交解和核校正方法(OSKCA), 在OSKCA中最關鍵的部分即為求解FMT模型的正交解, 而此問題即為求解重橢圓方程. 本項目採用的是近幾年興起的求解偏微分方程數值解的一種新型, 高效, 穩定的數值算法－弱有限元(WG)方法來數值求解此類重橢圓方程. 在WG方法的設計中, 可以使用任意格線(包括二維形狀正則的任意多角形和三維形狀正則的任意多面體)上的廣義或間斷近似函式來克服構造''光滑''有限元函式的困難. 在WG方法中, 通常可以通過引入其雜交形式或Schur補形式, 消去內部自由度, 生成一個僅僅依賴於邊界自由度的規模縮小的線性方程組系統, 從而實現更高效, 更穩定的數值求解. 可以說, WG方法對偏微分方程的數值解法提出了一個全新的思想, 將經典的有限元方法提升到了一個更高的水平. 本項目提出了高效求解重橢圓方程的弱有限元方法，並給出了理論分析，並進行了相關的數值模擬，數值模擬結果和理論結果完全吻合，從而有效地求解了此類重橢圓方程。本項目的研究不僅能一定程度上填補偏微分方程數值解研究領域中求解此類重橢圓方程的空白, 而且能在一定程度上促進FMT在醫學, 生物, 工程等各個領域的套用和發展, 從而有效地探測早期癌症以及監測和開發藥物, 推動未來理解癌症和一大批其他疾病的分子原因和生物力學的發展.
