重排方法在非線性（分數階）拋物方程中的套用

《重排方法在非線性（分數階）拋物方程中的套用》是依託山東師範大學，由田玉娟擔任項目負責人的青年科學基金項目。

基本介紹

• 中文名：重排方法在非線性（分數階）拋物方程中的套用
• 項目類別：青年科學基金項目
• 項目負責人：田玉娟
• 依託單位：山東師範大學

項目摘要

本項目套用重排方法就非線性（分數階）拋物方程展開研究。首先，對同時含有非線性零階項和一階項的拋物方程，根據關於梯度增長條件的不同，分別提出以尋求指數乘因子和指數變數替換為突破口來克服一階項影響的研究方案，證得拋物方程與其對稱方程解之間的積分比較關係，並以此研究解的正則性與存在性。不僅將以往線性拋物方程的結果推廣到非線性方程上，而且給出包含所有低階項的非線性拋物問題新的有效研究思路。其次，對（帶有零階項的）雙重非線性分數階拋物方程，提出轉化雙重非線性到同一非線性項上並將方程延拓為一類局部Dirichlet-Neumann問題來進行研究的技術方案，藉助Steiner對稱設計合適的試驗函式並結合極值原理來克服零階項所帶來的研究困難，進而獲得與對稱方程解之間的積分比較結果。並以此來分析解的爆破或滅亡的時間和速率。該方案打破以往基於時間離散化方法對分數階拋物方程進行研究的局限性，具有更廣泛的套用。

結題摘要

本項目主要套用重排方法研究非線性拋物方程和分數階拋物方程解的定性性質，包括解的存在性、有界性、唯一性和解的比較等問題。取得的成果主要包括：1. 藉助Schwarz對稱和Volterra型積分運算元的性質, 我們證明了關於梯度具有一般增長的非線性橢圓方程Dirichlet問題和Neumann問題有界弱解的存在性。並在該結果的啟發下，得到了與之相對應的非線性拋物方程與對稱拋物方程解之間的積分比較結果。2. 對於非線性分數階拋物方程，通過將雙重非線性化為單一非線性並離散化使之成為帶有零階項的非線性分數階橢圓方程，我們研究以下兩方面內容：一是帶有線性零階項的分數階橢圓方程解的存在性問題，特別利用重排方法證得了分數階橢圓運算元第一特徵值的變分表示和分數階Faber-Krahn不等式。二是得到了帶有凹凸非線性零階項的分數階橢圓方程弱解的存在唯一性以及多重性。