配極原理

配極原則(polarity principle)是指射影空間中一種特殊的對應規律，即對於一個給定的二階曲面，如果點P在點Q的極面上，則點Q也在點P的極面上。上述原則也可對偶地敘述為：對於一個給定的二階曲面，若點P的極面通過點Q，則點Q的極面也通過點P，這兩個平面稱為一對共軛平面。在平面中，配極原理敘述為：如果P點的極線通過Q點，則Q點的極線也通過P點。

基本介紹

• 中文名：配極原理
• 外文名：polarity principle
• 所屬學科：數學
• 所屬問題：高等幾何(射影幾何)
• 簡介：射影空間中一種特殊的對應規律

配極原理及證明

配極原理 如果點P關於二階曲線 的極線p過點Q，則點Q關於二階曲線 的極線q過點P。

利用配極原則可作出二階曲線的切線，同時利用配極原則可以證明某些點的共線問題和某些直線的共點問題。

證明 設二階曲線 的方程為

若點P關於 的極線p過點Q，即Q為P關於 的共軛點，它們滿足 。由

可得

於是，點P為點Q關於的共軛點，即點Q關於 的極線q過點p。

相關推論

推論1 兩點連線的極點為此兩點極線的交點；兩直線交點的極線為此兩直線極點的連線(如圖1)。

圖1

推論2 共線點的極線必共點；共點線的極點必共線。

推論3 設PA、PB為二階曲線的切線，A、B為切點，則直線AB為點P的極線(如圖2)。

圖2

例題解析

例1 內接於二階曲線的完全四點形的對邊三點形的每個頂點是其對邊的極點。

解：如圖3，PQR為完全四點形ABCD的對邊三點形，於是有

(AB，PE)=-1，(CD，PF)=-1，

所以點E、F均為點P關於二階曲線的共軛點，從而直線EF即直線QR為點P的極線。

同理，直線PQ為點R的極線，直線RP為點Q的極線。

圖3

例2 已知P不在二階曲線上，求作P的切線。

圖4

解：如圖4，先作出P關於二階曲線的極點P'

PO與二階曲線交於M，N則P'M，P‘’N為所求

因為P過M，則由配極原則，M的極線過P'而M的極線即為P'M。

例3 設B'C'，C'A'，A'B'分別是A()，B()，C()關於S=0的極線，求證三點形ABC與A'B'C'透視。

圖5

如圖5所示，根據配極原理得A',B',C'的極線分別是BC,CA,AB，再設BC與B'C'交於P，AA'與BC,B'C'分別交於Q,Q'，則P的極線是AA'，所以P的極線與A'的極線交於Q，因此Q的極線是PA'。

因B,C,P,Q的極線分別是A'C'，A'B'，A'A，A'P，所以

(BC,PQ)= A'(C'B',AP)

故有 (BC,PQ)=(C'B' ,Q'P)=(B'C',PQ' )，因此BB',CC',QQ'共點，命題得證。