邏輯斯諦增長

邏輯斯蒂增長曲線是一種由比利時數學家Verhulst首次發現的特殊曲線。後來，R.Pearl和L.J.Reed根據這一理論研究人口增長規則，因此，邏輯斯蒂增長的曲線也被稱為生長曲線或珍珠里德曲線。

基本介紹

• 中文名：邏輯斯諦增長
• 外文名：Logistic growth model
• 類型：數學模型
• 研究：植物群體的發病率
• 發現者：Verhulst

簡介

邏輯斯蒂增長模型又稱自我抑制性方程。用植物群體中發病的普遍率或嚴重度表示病害數量(x)，將環境最大容納量k定為1(100%)，邏輯斯蒂模型的微分式是：

dx/dt=rx(1-x)

式中的r為速率參數，來源於實際調查時觀察到的症狀明顯的病害，范.德.普朗克(1963)將r稱作表觀侵染速率(apparent infection rate)，該方程與指數模型的主要不同之處，是方程的右邊增加了(1-x)修正因子，使模型包含自我抑制作用。

積分式

其線性方程為：

式中：ln(x/（1-x）)稱作x的邏輯斯蒂轉換值，通常簡稱邏值(logit（x）)；

當x=0.5時，邏值(ln(x/（1-x）)等於0；x<0.5時，邏值為負值；x>0.5時，邏值為正值。S型曲線的直線化，就是將病情(x)百分率轉換成邏值後，用普通坐標紙以邏值為縱坐標對時間(t)作圖，則病情進展曲線就成為一條直線，也稱邏值線(圖中B)。邏值線與縱軸相交的截點，為初始病害數量(x0)，邏值線的斜率就是病害的流行速度，即表觀侵染速率。

增長曲線模型概述

對於預測模型的計算，首先應該確定模型的參數，這就涉及到參數的估計和預測問題。為了達到更好的預測精度，先採用最小二乘回歸方程法（OLS），再結合0.618最佳尋求方法最佳化邏輯斯蒂增長模型。

邏輯斯蒂生長曲線最小二乘法預測模式的建立

為了方便計算，將邏輯斯蒂曲線模型的非線性轉變為線性關係。首先，將邏輯斯蒂曲線公式2的模型進行簡單的變換，再對公式3雙邊取對數，它會成為一個線性關係如公式4，5和6所示。這使得它易於通過使用的歷史數據建立增長預測模型。

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

因為它是一個線性關係，可以採用普通最小二乘原則來計算係數A，B的值，而且這樣可以使得觀測值和估計價之間的偏差的平方和最小。

邏輯斯蒂增長生長曲線模型最佳化

因為僅僅靠預測模型，一次達到較高的預測精度較為困難，為此可以採用對模型進一步選優的方法，來提高預測精度。所以模型的最佳化方法是根據華羅庚提出0.618選優法，對得到的模型，計算該模型是否能得到預測值和測量值最小殘差平方和。