邏輯斯諦增長

邏輯斯諦增長

邏輯斯蒂增長曲線是一種由比利時數學家Verhulst首次發現的特殊曲線。後來,R.Pearl和L.J.Reed根據這一理論研究人口增長規則,因此,邏輯斯蒂增長的曲線也被稱為生長曲線或珍珠里德曲線。

基本介紹

  • 中文名:邏輯斯諦增長
  • 外文名:Logistic growth model
  • 類型:數學模型
  • 研究:植物群體的發病率
  • 發現者:Verhulst
簡介,積分式,增長曲線模型概述,邏輯斯蒂生長曲線最小二乘法預測模式的建立,邏輯斯蒂增長生長曲線模型最佳化,

簡介

邏輯斯蒂增長模型又稱自我抑制性方程。用植物群體中發病的普遍率或嚴重度表示病害數量(x),將環境最大容納量k定為1(100%),邏輯斯蒂模型的微分式是:
dx/dt=rx(1-x)
式中的r為速率參數,來源於實際調查時觀察到的症狀明顯的病害,范.德.普朗克(1963)將r稱作表觀侵染速率(apparent infection rate),該方程與指數模型的主要不同之處,是方程的右邊增加了(1-x)修正因子,使模型包含自我抑制作用。

積分式

其線性方程為:
式中:ln(x/(1-x))稱作x的邏輯斯蒂轉換值,通常簡稱邏值(logit(x));
當x=0.5時,邏值(ln(x/(1-x))等於0;x<0.5時,邏值為負值;x>0.5時,邏值為正值。S型曲線的直線化,就是將病情(x)百分率轉換成邏值後,用普通坐標紙以邏值為縱坐標對時間(t)作圖,則病情進展曲線就成為一條直線,也稱邏值線(圖中B)。邏值線與縱軸相交的截點,為初始病害數量(x0),邏值線的斜率就是病害的流行速度,即表觀侵染速率。

增長曲線模型概述

對於預測模型的計算,首先應該確定模型的參數,這就涉及到參數的估計和預測問題。為了達到更好的預測精度,先採用最小二乘回歸方程法(OLS),再結合0.618最佳尋求方法最佳化邏輯斯蒂增長模型。

邏輯斯蒂生長曲線最小二乘法預測模式的建立

為了方便計算,將邏輯斯蒂曲線模型的非線性轉變為線性關係。首先,將邏輯斯蒂曲線公式2的模型進行簡單的變換,再對公式3雙邊取對數,它會成為一個線性關係如公式4,5和6所示。這使得它易於通過使用的歷史數據建立增長預測模型。
(2)
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(6)
因為它是一個線性關係,可以採用普通最小二乘原則來計算係數A,B的值,而且這樣可以使得觀測值和估計價之間的偏差的平方和最小。

邏輯斯蒂增長生長曲線模型最佳化

因為僅僅靠預測模型,一次達到較高的預測精度較為困難,為此可以採用對模型進一步選優的方法,來提高預測精度。所以模型的最佳化方法是根據華羅庚提出0.618選優法,對得到的模型,計算該模型是否能得到預測值和測量值最小殘差平方和。

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