逆問題，又稱為反問題。指根據事物的演化結果，由可觀測的現象來探求事物的內部規律或所受的外部影響，起著倒果求因的作用。正問題則是指一般是按著自然順序來研究事物的演化過程或分布形態，起著由因推果的作用。簡而言之，一般的問題是由因求果，反問題就是執果索因，已知結果去探求原因。
基本介紹
- 中文名：逆問題
- 外文名：Inverse problem
- 思維：逆向思維
- 實質：執果索因
- 學科：數學
- 套用領域：科學研究
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基本內容
反問題通常體現了一種逆向思維。馮康先生在上世紀八十年代初曾經著文《數學物理中的反問題》，較早地介紹了這個新的研究方向。他將反問題的功能概括為“由表及里”、“索隱探秘”、“倒果求因”。在中國的傳統文化中，只有智者高人才能透過現象看清本質，甚至參透因果，一語破的。科學化的反問題研究為我們在解決問題，增長智慧方面提供了很好的案例和方法論。
發展簡史
1846年，法國人Le Verrier發現了海王星；1880年，美國學者J.A.Ewing等人發明了近代地震儀，提出了地震記錄的分析問題；1907年，Herglog提出了地震走時數據的反演；1909年，A.Mohorovicic發現了莫霍面；1912年，Beno Gutenbeg發現了古登堡面；1935年，Lehmann發現了地球外核和核心的分界面。這些工作都對地球物理反演學術思想的形成和發展起到了巨大的推動作用。
但在第一台數字計算機誕生之前，反問題的發展非常緩慢，反演方法只有選擇法和量版法。1967-1970年，美國地球物理學家Backus和套用數學家Gilbert連續發表了三篇關於平均核法的文章，奠定了反演理論的基礎；Tikhonov（吉洪諾夫）20世紀40年代，提出了正則化方法（1977，Solutions of ill-posed problems,美國。中譯本，1979）；70年代初，英國學者G.Honsfield研製出了第一台醫用CT機以及他和美國學者A.M.Cormack共同獲得了1979年度生理性和醫學諾貝爾獎，大大推動了有關不可見物體層析成像的研究熱潮，也極大地推動了反問題數學理論、數值方法以及套用的發展。
隨著反問題套用的蓬勃發展，在計算機視覺，自然語言處理，機器學習，統計學，推論統計學，地理，醫學成像（比如X射線計算機斷層成像和腦電圖/事件相關電位），遙感，海洋聲學層析，無損檢測，航空，物理學領域中隨處可見。國際上四種反問題雜誌：Inverse Problems、 Inverse Problems and Imaging、Inverse Problems in Science and Engineering、Journal of inverse and ill-posed problems。我國反問題的研究是由計算數學家馮康倡導（1982）。他把反問題列為計算數學四大問題之一（正問題、反問題、逼近問題和代數問題）。
分類
按套用分類
（1）微分運算元參數識別問題
（2）逆時間過程反問題
（3）尋源反問題
（4）邊界控制反問題
（5）幾何反問題
（6）混合反問題
按問題分類
（1）電腦斷層掃描（CT）
（2）反散射
（3）逆熱傳導問題
（4）地球物理反問題
（5）成像中的逆問題
（6）微分方程中參數的識別
特徵
- 存在性：反問題的解很可能不存在，無解的原因也是多種多樣。
- 唯一性：有的反問題的解有幾個甚至無窮多個。
- 穩定性：通過計算手段反演物質的結構和特性是反問題研究的重要內容。
存在性、唯一性和穩定性，三者之一不滿足就稱為不適定性問題。反問題一般來說是不適定的。
套用
儘管一些經典反問題的研究可以追溯很早，反問題這一學科的興起卻是近幾十年來的事情。在科學研究中經常要通過間接觀測來探求位於不可達、不可觸之處的物質的變化規律；生產中經常要根據特定的功能對產品進行設計，或按照某種目的對流程進行控制。這些都可以提出為某種形式的反問題。可見，反問題的產生是科學研究不斷深化和工程技術迅猛發展的結果，而計算技術的革命又為它提供了重要的物質基礎。
物性探測
比如說石油勘探。石油通常埋在幾千米的地下，無法直接觀察油田的位置和儲量，靠試打井的辦法來探測不但費用昂貴（一口井的代價要上千萬元），而且效率極低（只能探測到井附近的局部信息）。一個可行的辦法是通過地面爆炸向地下發射地震波，同時接收地層的反射波信號。可以想像，地面接收到的反射信號中含有地下的物性結構信息（地層的密度、聲速等等），利用數學手段將這些信息提取出來，就可以對地下的油儲及其分布作出科學的判斷。
掃描成像
本世紀初，Hebglotz和Wiechebt套用Abel型反演方法解決了在一定對稱條件下通過地震波的走時曲線來反推地層內部形貌的方法。據此Mohobovic（1909年）發現了地殼與地幔之間的斷層。之後，利用地震波的接收信號通過成像來考察地層地貌形態已經成為地球物理勘探最為重要的手段。例如，通過走時成像，可以得到地震波在不同深度的傳播速度；而在已知速度的前提下，利用聲波方程或其單程波方程偏移成像方法，又可以得到反射界面的位置和形狀。
成像的另一個重要套用是醫學上的計算機層析成像（CT），這是X光射線。自Roentgen發明（獲1900年諾貝爾獎）以來在醫療診斷上的重大進展，其發明人Hounsfield和Cormack因此獲得了1979年的諾貝爾醫學獎。CT技術是醫學、電子技術、計算機技術和反演數學相結合的產物，它利用計算機來對穿越人體的X射線信號進行處理，來重建體內的結構信息，生成透視圖像供醫療診斷參考，其核心算法的數學基礎是二維Radon變換。繼之而起的是基於三維Radon變換的核磁共振成像，在診斷效果和無傷害性方面更為優越。事實上，類似的方法也可以藉助於聲波、光波、電磁波在無損探傷、雷達偵察、射電望遠鏡探測、環境監測等多方面有廣泛套用。
逆時反演
在科學研究中經常會有逆時反問題。當然，反問題研究不是歷史學，它所研究的對象一般要滿足某種類型的演化方程或數學模式。例如，通過遠程測得的某次爆炸產生的輻射波，如何確定爆炸的位置和初始能量，這是波動方程的逆時反問題；又如，根據近來的溫度變化能否確定過去某個時間的溫度狀態，這就成為熱傳導方程的逆時反問題。
在研究和套用上經常是相互聯繫的，分門別類只是為了敘述方便。另外，反問題與其它數學學科之間並沒有一個嚴格的界限，而是互為補充，互相促進。反問題的研究起源於數理方程，其反演算法中包含了微分方程數值解法、最最佳化方法和機率統計等方面的許多思想和技巧。另一方面，反問題的研究也促進了人們對世界的認識，使得研究更全面、深化。
