逆位似點

逆位似點(inverse homothetic points)是與兩圓位似點相關的一對點，指一個圓與兩已知圓分別相切於A和A′，S為兩已知圓的位似中心，若直線AA′通過S，且A，A′不是對於S的位似點，則A和A′稱為兩已知圓的位似中心的逆位似點。

基本介紹

• 中文名：逆位似點
• 外文名：inverse homothetic points
• 所屬學科：數學
• 所屬問題：平面幾何(比例與相似形)
• 簡介：與兩圓位似點相關的一對點

基本介紹

當我們研究與二已知圓周相切的圓周時，下列的概念起著很大的作用：兩點A及A'分別在兩圓周O及O'上，而這兩圓周的一個相似中心為S，假如直線AA'通過這個相似中心，而且點A及A'不是關於相似中心S的位似點，則我們把這兩點A及A'叫做這二圓周的一個相似中心S的逆位似點。

如圖1的兩點A及A' ，同樣兩點B及B'，都是關於外相似中心S的逆位似點。(而於圖2的兩點A及A'，兩點B及B' ，是關於內相似中心S*的逆位似點)

圖1

圖2

逆位似點的性質

逆位似點具有下列性質。

定理1 自二圓周外相似中心到這二圓周上關於這相似中心的任意二逆位似點的距離的乘積，恆有一個同一數值(按絕對值及其符號)。

關於內相似中心的逆位似點，也有同樣的性質。

證明 設A及A'分別為二圓周O及O'上關於其外相似中心S(圖1)的任意的逆位似點，用B及B'表示直線SA與圓周O及O'的第二交點，用p及p'表示點S關於圓周O及O'的冪，用 表示圓周O及O'的相似係數，我們有

與點A及A'的選擇無關，關於內相似中心的逆位似點(圖2)，本定理用同樣的方法可以得到證明。

常數積

常叫做二圓周的共同冪，由於S是二圓周的外或內相似中心，常將這個常數積叫做外或內共同冪。

定理2 與二已知圓周相切的任意圓周，其切點為二逆位似點；假如與二已知圓周皆為外切或皆為內切，則二切點關於外相似中心為逆位似點；如與二已知圓之一外切而與另一圓周內切，則二切點關於內相似中心為逆位似點。

當二已知圓周相等時也不作特別的說法(圖3)，即當沒有外相似中心時，假如二相等圓周上的二點A，A'聯結而成的直線AA'與連心線平行，且半徑OA及O'A'不平行，這時我們仍說二點A及A'“關於外相似中心為逆位似點”。

圖3

證明 設任意圓周Ω與二已知圓周O及O'分別相切於點A及A'，且同為外切，直線AA'與圓周O及O'的第二交點為B及B'(圖1)，因為 ，則

∠OAB =∠ΩAA'=∠ΩA'A =∠O'A'B’=∠O'B'A'

所以，半徑OA及O'B'平行，即點A及B'為關於外相似中心的位似點，而點A及A'為其逆位似點。

如與二已知圓周同為內切，或如圓周Ω*(圖2)與二已知圓周之一內切而與另一圓周外切，本定理同理可以得到證明。

系 外(內)相似中心關於與二已知圓周同為外切或同為內切(與其一為內切而與其他為外切)的所有圓周，有同一的冪，它等於關於已知圓周的外(內)共同冪。

與定理1和2相對照，即可導出。

定理3 通過二圓周上二逆位似點且與一圓周相切的圓周，與另一圓周亦必相切。

證明 設圓周Ω(圖1及圖3)通過二已知圓周O及O'上的二點A及A'，這二點關於外相似中心為逆位似點，且圓周Ω與圓周O外切於點A。

因為點A及A'為關於外相似中心的逆位似點，則

∠OAB =∠O'B'A'=∠O'A'B'，

因為圓周Ω與圓周O相切於點A，則

∠OAB =∠ΩAA'=∠ΩA'A，

所以∠O'A'B' =∠ΩA'A，因此推知點Ω，A'，O'在一直線上，則得圓周Ω與圓周O'相切於點A'。

本定理的另外一種情形用這樣的方式亦可得證。