《辛幾何中不變數理論的分析與計算》是依託中國人民解放軍國防科技大學，由林愛津擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：辛幾何中不變數理論的分析與計算
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：林愛津
- 依託單位：中國人民解放軍國防科技大學
中文摘要,結題摘要,
中文摘要
不變數理論是現代辛幾何與數學物理領域研究的前沿和熱點，其核心課題有兩個，即不變數的數學構造和計算。目前最有代表性的不變數理論是HGW理論和FJRW理論，它們都取得了巨大的成功，但也面臨著許多問題和困難。本課題就是要嘗試用新方法來解決其中的問題，主要分三個子課題:1.用熱流方法研究Yang-Mills-Higgs泛函，建立其熱流解的分析性質，特別是解的存在性，唯一性和收斂性問題，然後建立相應Atiyah-Bott意義下的等變Morse理論。2. 推廣Donaldson，Lockhart-McOwen，Chen-Ruan等的指標理論，研究Witten方程中Cauchy-Riemann運算元在光滑度量下的指標理論，進一步嘗試建立一般帶邊Orbifold上Maslov運算元的指標理論。3.綜合運用HGW理論、FJRW理論和Floer同調理論研究Witten提出的GLSM模型在帶邊界情形下的數學理論。
結題摘要
不變數理論是現代辛幾何與數學物理領域研究的前沿和熱點，其核心課題有兩個，即不變數的數學構造和計算。目前最有代表性的不變數理論有HGW理論和FJRW理論，它們都取得了巨大的成功，但也面臨著許多問題和困難。本課題就是要嘗試用新方法來解決其中的問題，主要分三個子課題:1.用熱流方法研究Yang-Mills-Higgs泛函，建立其熱流解的分析性質，然後建立相應Atiyah-Bott意義下的等變Morse理論並套用於計算拓撲信息。2. 嘗試建立一般帶邊Orbifold上Maslov運算元的指標理論。3.研究Witte提出的GLSM模型在帶邊界情形下的數學理論。已取得的進展如下：在子課題一，我們得到了底流形是緊緻黎曼面時Yang-Mills-Higgs熱流的全局弱解的存在性，並得到了序列收斂性等部分結果。我們還在纖維叢為復向量從的情形證明了Lojasiewicz不等式，進而將Wilkin關於Higgs叢模空間的Yang-Mills型熱流的光滑收斂性定理成功推廣到Bradlow意義下的規範全純映射模空間，並建立了該模空間的解析分層。作為例子，我們用等變Morse理論計算一維複線叢情形的穩定Vortices模空間的等變Poincare多項式。另外，我們證明當底流形為緊緻Kahler流形時關於Vortex泛函的熱流全局光滑解的存在性。關於子課題二，受最近Atiyah[AL]證明了帶錐奇點度量的指標定理及隨後Lock-Viaclovsky[LV]在orbifold情形的推廣工作影響，我們研究了帶錐奇點度量的orbifold上橢圓運算元的指標問題。另外，與人合作，研究了一類Fano流形上帶錐奇點的Kahler-Einstein度量的問題，並證明了相應的存在唯一性定理。除此之外，我們還在平均曲率流、離散幾何分析等和項目相關的研究方向進行研究。我們研究了積流形中圖的平均曲率流，證明了此種情形下平均曲率流的全局存在性和一致收斂性。我們還研究了圖上的p次Yamabe問題，分別在有限圖和無限圖兩種情形，證明了p次Yamabe問題正解的存在性。項目目前已完成6篇論文，其中1篇已被SCI二區期刊《J. Func. Anal.》接收，3篇在投，2篇已完成即將在投，另外還有3篇在進行最後的創作中。項目結題後，我們將通過保持和國內外同行的交流合作，繼續把研究推向深入，爭取取得較大突破。
