超完全數（又名超完美數或超完備數，英文Superperfect Numbers）是一種特殊的自然數。
基本介紹
- 中文名：超完全數
- 外文名：Superperfect Numbers
- 別名：超完美數或超完備數
超完全數滿足以下式：
σ【σ(n)】=2n
這個等式的意思是：這個自然數的所有因數之和的所有因數之和等於自身的兩倍。
例如2的因數之和為1+2=3，3的因數之和為1+3=4，4是2的兩倍，所以2是超完全數。
超完全數的英文是由Suryanarayana在1969年開始使用。
超完全數的推導公式：
若2^n-1為質數，則2^（n-1）必為超完全數。
例如：
n=2時，2^2-1=3為質數，故2^(2-1)=2為超完全數。
n=3時，2^3-1=7為質數，故2^(3-1)=4為超完全數。
n=5時，2^5-1=31為質數，故2^(5-1)=16為超完全數。
n=7時，2^7-1=127為質數，故2^(7-1)=64為超完全數。
······
現在發現的任何超完全數都是偶數，還不知道是否有奇超完全數存在。如果存在，其數必為完全平方數，且這個數或者這個數的所有因數之和至少包含3個不同的質因數。在7×10^24以內的自然數中奇超完全數是不存在的。
