費希爾不等式

費希爾不等式(Fisher's inequality)是反映設計存在的一種條件，指(v，b，r，k，λ)-BIBD存在時，參數b與v必須滿足的不等式：b≥v，該不等式由費希爾(R.A.Fisher)於1940年發現，後來雷·喬德里(D.K.Ray-Chaudhuri)和威爾森(R.M.Wilson)將這個不等式推廣到t設計的情形。

基本介紹

• 中文名：費希爾不等式
• 外文名：Fisher's inequality
• 所屬學科：數學（組合學）
• 簡介：反映設計存在的一種條件

基本介紹

費希爾不等式在(b，v，r，k，λ)設計中，b≥v。

雷·喬德里(D.K.Ray-Chaudhuri)和威爾森(R.M.Wilson)將這個不等式推廣到t設計的情形。他們證明：若2s-(v，k，λ)設計存在，且v≥k+s，則

若設計存在，且，則

以上不等式稱為推廣的費希爾不等式。

費希爾不等式的證明

為了證明這一結果，需要引入一個很有幫助的概念，這就是區組設計的關聯矩陣(incidence matrix)，如果一個設計有變元 ，區組 ，那么A是一個由0和1組成的v×b矩陣，其中，如果x_i在B_j中則A的i，j項是1，否則它是0(這就是點集關聯矩陣)。

為了證明費希爾不等式，我們先給出以下結果，其證明請參考相應文獻。

定理1 在一個(b,v, r, k,λ)設計中有

及

定理2如果A是(b,v, r, k,λ)設計的關聯矩陣，那么

其中A^T是A的轉置矩陣，I是v×v的單位矩陣，J是所有項為1的v×v矩陣。

費希爾不等式的證明：

我們假設b<v，並推導出一個矛盾。設A是關聯矩陣。

因為b<v,所以我們可以把v-b個0列加到A上，結果給出一個v×v方陣B，現在AA^T= BB^T,因為A的兩行的內積等於B的兩行的內積。取行列式，我們得出下面的結論:

但是，detB=0，因為B有0列。因此，det(AA^T)=0。現在，根據定理2，有

從等式(4)的右邊的矩陣的每一個其他列中減去第一列不改變行列式,因此

在(5)式的右邊的矩陣的第一行加上所有其他行不改變這個行列式，因此，有

因為(6)式的右邊矩陣的對角線的上方都是0，所以它的行列式等於對角線上元素的積，所以有下面的等式:

因為我們已得出結論，所以我們有

但是因為r, v和λ都假設是正的，所以有

同樣，根據定理1的等式(2)，因為k<v,所以有r>λ，因此有

我們得出結論: (7)式的左邊是正的，而這是一個矛盾