基本介紹
- 中文名：貝爾曼-福特算法
- 外文名：Bellman-Ford
- 創立人：理察·貝爾曼和萊斯特·福特
- 也被稱為：Moore-Bellman-Ford 算法
算法簡介,偽代碼表示,原理,鬆弛,負邊權操作,負權環判定,最佳化,
算法簡介
貝爾曼-福特算法（英語：Bellman–Ford algorithm），求解單源最短路徑問題的一種算法，由理察·貝爾曼（Richard Bellman） 和萊斯特·福特創立的。有時候這種算法也被稱為 Moore-Bellman-Ford 算法，因為Edward F. Moore也為這個算法的發展做出了貢獻。它的原理是對圖進行
次鬆弛操作，得到所有可能的最短路徑。其優於迪科斯徹算法的方面是邊的權值可以為負數、實現簡單，缺點是時間複雜度過高，高達
。但算法可以進行若干種最佳化，提高了效率。
貝爾曼-福特算法與迪科斯徹算法類似，都以鬆弛操作為基礎，即估計的最短路徑值漸漸地被更加準確的值替代，直至得到最優解。在兩個算法中，計算時每個邊之間的估計距離值都比真實值大，並且被新找到路徑的最小長度替代。 然而，迪科斯徹算法以貪心法選取未被處理的具有最小權值的節點，然後對其的出邊進行鬆弛操作；而貝爾曼-福特算法簡單地對所有邊進行鬆弛操作，共 次，其中
是圖的點的數量。在重複地計算中，已計算得到正確的距離的邊的數量不斷增加，直到所有邊都計算得到了正確的路徑。這樣的策略使得貝爾曼-福特算法比迪科斯徹算法適用於更多種類的輸入。
偽代碼表示
procedure BellmanFord(list vertices, list edges, vertex source)
// 該實現讀入邊和節點的列表，並向兩個數組（distance和predecessor）中寫入最短路徑信息
// 步驟1：初始化圖
for each vertex v in vertices:
if v is source then distance[v] := 0
else distance[v] := infinity
predecessor[v] := null
// 步驟2：重複對每一條邊進行鬆弛操作
for i from 1 to size(vertices)-1:
for each edge (u, v) with weight w in edges:
if distance[u] + w < distance[v]:
distance[v] := distance[u] + w
predecessor[v] := u
// 步驟3：檢查負權環
for each edge (u, v) with weight w in edges:
if distance[u] + w < distance[v]:
error "圖包含了負權環"
原理
鬆弛
每次鬆弛操作實際上是對相鄰節點的訪問，第
次鬆弛操作保證了所有深度為n的路徑最短。由於圖的最短路徑最長不會經過超過條邊，所以可知貝爾曼-福特算法所得為最短路徑。
負邊權操作
與迪科斯徹算法不同的是，迪科斯徹算法的基本操作“拓展”是在深度上尋路，而“鬆弛”操作則是在廣度上尋路，這就確定了貝爾曼-福特算法可以對負邊進行操作而不會影響結果。
負權環判定
因為負權環可以無限制的降低總花費，所以如果發現第次操作仍可降低花銷，就一定存在負權環。
最佳化
循環的提前跳出
在實際操作中，貝爾曼-福特算法經常會在未達到次前就出解，其實是最大值。於是可以在循環中設定判定，在某次循環不再進行鬆弛時，直接退出循環，進行負權環判定。
佇列最佳化
主條目：最短路徑快速算法
西南交通大學的段凡丁於1994年提出了用佇列來最佳化的算法。鬆弛操作必定只會發生在最短路徑前導節點鬆弛成功過的節點上，用一個佇列記錄鬆弛過的節點，可以避免了冗餘計算。原文中提出該算法的複雜度為
，
是個比較小的係數，但該結論未得到廣泛認可。
Pascal語言示例
Begin
2 initialize-single-source(G,s);
3 initialize-queue(Q);
4 enqueue(Q,s);
5 while not empty(Q) do
6 begin
7 u:=dequeue(Q);
8 for each v∈adj[u] do
9 begin
10 tmp:=d[v];
11 relax(u,v);
12 if (tmp<>d[v]) and (not v in Q) then
13 enqueue(Q,v);
14 end;
15 end;
16 End;
C++語言示例
int SPFA(int s) {
2 queue<int> q;
3 bool inq[maxn] = {false};
4 for(int i = 1; i <= N; i++) dis[i] = 2147483647;
5 dis[s] = 0;
6 q.push(s); inq[s] = true;
7 while(!q.empty()) {
8 int x = q.front(); q.pop();
9 inq[x] = false;
10 for(int i = front[x]; i !=0 ; i = e[i].next) {
11 int k = e[i].v;
12 if(dis[k] > dis[x] + e[i].w) {
13 dis[k] = dis[x] + e[i].w;
14 if(!inq[k]) {
15 inq[k] = true;
16 q.push(k);
17 }
18 }
19 }
20 }
21 for(int i = 1; i <= N; i++) cout << dis[i] << ' ';
22 cout << endl;
23 return 0;
24 }