《變分不等式的自適應間斷 Galerkin 方法》是依託華中科技大學，由王飛擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：變分不等式的自適應間斷 Galerkin 方法
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：王飛
- 依託單位：華中科技大學
中文摘要,結題摘要,
中文摘要
本項目主要研究用自適應間斷Galerkin（DG）方法，數值求解變分不等式（VIs）。變分不等式是一類十分重要且有用的非線性問題，它們產生並廣泛套用於許多不同的領域，如：物理，工程，金融，管理和通信等。在解決與時間相關的微分方程上，與連續有限元相比，DG方法更具穩定性和有效性。輕鬆實現hp自適應算法是DG方法的另一優點，離散的局部性還使DG方法非常適合併行運算。所以，申請人對研究變分不等式的DG格式特別感興趣。申請人與美國愛荷華大學的韓渭敏教授、浙江大學程曉良教授合作，已經對橢圓VIs的DG方法進行了研究，給出了先驗誤差估計，證明了線性元達到了最優收斂階。通過本項目，我們將研究變分不等式的DG方法的先驗誤差估計和後驗誤差估計，根據後驗誤差估計子實現求解VIs的自適應DG方法，使得在現有硬體條件下，擴大計算VIs的規模和提高計算精度。也為下一步實現並行自適應DG方法求解VIs打下基礎。
結題摘要
本項目主要研究用間斷 Galerkin（DG）方法數值求解變分不等式。變分不等式是一類十分重要且有用的非線性問題，它們產生並廣泛套用於許多不同的領域 。間斷 Galerkin 方法在構造局部形函式上有很大的靈活性，且能高效的解決那些真解是非光滑或振盪的問題，並有其它很多優點。本項目負責人王飛博士與美國愛荷華大學的韓渭敏教授、浙江大學的程曉良教授、上海交通大學的黃建國教授等合作，成功完成了本項目的三個相互關聯的主要研究內容和計畫。研究成果達到預期目標，並撰寫文章8篇，其中5篇已發表在國際 SCI 期刊，1篇被錄用，2篇在審閱中。首先，對“變分不等式的 DG 方法的先驗誤差估計”，我們研究了擬靜態接觸問題，雙障礙問題，和雙膜問題的 DG 方法，給出了先驗誤差估計，證明了線性元達到最優收斂階；我們撰寫相關文章3篇，均已發表在國際 SCI 期刊 （［8,3,4］）,其中文章［8］發表在計算數學方向的頂級雜誌 “Numerische Mathematik”上。另外，關於“變分不等式的自適應 DG 方法”，我們研究了障礙問題和摩擦接觸問題的 DG 方法的後驗誤差估計，並根據得到的誤差估計子設計自適應 DG 算法，大大提高了計算效率，使得在現有硬體條件下，擴大計算規模，並提高計算精度；撰寫文章3篇，其中2篇已發表在國際 SCI 期刊([5,10])，1篇在審稿中 ([6])，其中文章［10］發表在套用數學方向的頂級雜誌 “Nonlinear Analysis: Real World Applications”上。更進一步，關於“四階變分不等式的 CDG 方法”，我們研究了關於 Kirchhoff 板彎曲問題的兩種變分不等式的 CDG 方法。此方法大大降低了計算的複雜度，提高了計算效率，其中對第一類四階變分不等式，我們的研究文章已被 Springer 出版的 “Advances in Variational and Hemivariational Inequalities with Applications” 錄用 ([11])；對第二類四階變分不等式，我們證明了 CDG 格式的相容性，雙線性型的有界性和穩定性，最終給出 CDG 方法的先驗誤差估計，證明了二次元的 CDG 方法達到最優收斂階，數值算例的收斂速度也驗證了理論結果。這篇文章在審稿中（[12]）。
