變值運算

各種變值函式的有關運算叫變值運算

基本介紹

• 中文名：變值運算

引言

變值運算

——一種擴展的新型數學運算

各種變值函式的有關運算叫變值運算。其各種基本算法（變值算法）應當是對等值函式各類基本算法（等值算法）的繼承、包容和擴展（基值函式也應如此）。這些擴展算法與等值算法的根本區別在於變值係數不再恆為1，其中，尤其是各種異基四則運算（基距不同的四則運算）和各種積分運算等，更是變值算法所特有。

因此，在各種變值運算中，要始終牢記其對應基距和變值係數。現將變值函式的部分算法作一簡要說明，其中，包含積分運算的有關算法只限於正箱坐標系（與斜箱坐標系對應的積分運算目前尚不成熟）。

四則運算

變值函式和基值函式的四則運算可分為同基和異基兩種算法。同基四則運算的基本算法與常規四則運算相同，但應牢記變值係數（運算前後變值係數不變），尤其是異系運算更應如此。當變值係數恆為1時，二者完全相同。

異基四則運算則應依據變值函式的基本性質,先通基後運算，通基後可按同基運算進行。其中，變值加減運算還可引申擴展為變值合併運算（變合運算）與變值分解運算（變分運算）。變合運算相當於不同基距的基箱面或基箱體的合併，可將均勻或不均勻空間合併為不均勻空間。變分運算屬於變合運算的逆運算，相當於對基箱面或基箱體的分解，可將均勻或不均勻空間分解為不均勻或均勻空間。這裡只對較為常用的作一說明，而變分運算可按變合運算的逆過程適當求之。

異基變合運算與常規的異分母加減運算相類似，亦即先通基後合併，以便可使自變數採用同值同步進行有關運算。變合運算可用於各種一元和多元函式，下面重點說明一元和二元。

上述一元和二元的變合運算通常對應於不同空間的相互合併。仿照上述方法亦可進行多元變合運算。

積分運算

目前比較成熟的變值函式積分運算（叫變積運算）還只限於正箱坐標系及其對應的一元到三元。其基本運算規則與等值函式完全相同，所不同的是必須要有變值係數係數的直接參與。下面介紹兩種情形，即單一變值函式的積分運算(或叫單積運算)和非單一變值函式的合併和積分運算(合積運算)。

變積運算

由於等值函式的變值係數恆為1，故其積分結果對應於密度或單位與基準（基值）單位相同的實際數值（如密度均勻的面積或體積數值等）；但變值函式的變值係數通常不為常數1，自變數的取值通常只是同名坐標單位數，所對應的密度或單位並不相同，故其直接積分結果仍然只是密度或單位不等的對應單位數，並非與基準（基值）單位相同的實際數值，二者存在某一差值。這一差值來自積分變數的變值係數餘項。因此，若要得到密度或單位與基值單位相同的實際數值（即補上相應差值），則應將被積函式的對應單位還原為基值單位，亦即應將被積函式進行還原，通常是將被積函式（顯函式）乘以某一係數（可為數值或算式）。由於該係數對積分運算具有上述還原作用，故可稱之為還原係數或積分係數（用U表示）。這種還原只對被積函式中不含變值係數的積分變數進行，此時的積分變數叫還原變數。 在通常情況下，還原變數為寬距變數和長距變數。此時，還原係數可有兩種求法：當只有一個還原變數時，還原係數等於對應變值係數；當有兩個還原變數時，還原係數等於兩個對應變值係數的首項之積與餘項之和。現將比較常用的還原係數列示如下（左下二圖）：以上各種積分變數的上、下限均為常數，當含有函式項時（如多重積分），其有關運算仍與常規的積分運算方法相同。

合積運算

合積運算是指同時包含變合和變積運算的算法，仍有同基與異基之分。

（1）同基合積運算：本法是指各單式均為同基函式合積運算，其中，又有同系與異系之分，前者可視為後者的特殊情形。通基合積的一般步驟是：一還原、二求和、三積分。現以二元為例說明如下（右下圖）：

當各單式為同基同系時，還原係數相同，前兩步可以互換，也可將還原係數提到求和符號之前；當各單式為異基異系時，還原係數不同，前兩步不能互換；當積分變數採用同值同步時，積分運算只能放在最後；當積分變數不採用同值同步時，其後兩步可以互換。

（2）異基合積運算：本法是指各單式不為同基函式的合積運算。其一般步驟是：一通基、二還原、三求和、四積分。這裡先進行通基使各單式變為同基算式，然後便可按照同基算式進行合積運算，其中，又有同系與異系之分（前者可視為後者的

特殊情形）。這裡仍以二元為例作一說明（右下圖）。

以上為二元類合積運算的基本算法，當各單式為三元高距坐標算式(為高距算式的一個原函式)或二元高距係數算式時(此時為箱體坐標系)，則可先求出對應高距的二元算式(如將二元高距係數算式對Z定積分而得)，然後按照上述方法求之。

另當上述各單式為高距坐標的二元算式(高距算式的一個原函式)或為高距係數的一元算式時(常與箱面坐標系相對應)，此時,亦可先求出各單式的高距算式(如將一元高距係數算式對Z定積分而得),然後可由上述二元類合積算式簡化而得。其一般求法如下（左下圖）:

在上述合積運算的一般算式中，積分符號與求和符號也可互換位置，亦即兩種運算也可交換順序。另當積分變數不採用同值同步時，可省去其通基變換。

坐標變換

在變值函式中，總體來說，自變數的取值均與基值坐標相對應，基值函式也同樣如此，因此，當需要自變數的實際坐標位置（即對應變值坐標）時，則應進行基值坐標與變值坐標的相互變換。其具體變換方法可依據變值公式進行，即：變值坐標=基值坐標×變值係數，或基值坐標=變值坐標/變值係數。應當注意的是，當變值函式經過變基運算或通基變換時，上式中的變值係數應採用新的變值係數。

上述的變合、變積與合積三種運算為變值函式所特有，其中，變合和合積運算可用於一維到三維的不均勻空間的的精確合併。此外，作為上述運算的逆運算（變分運算、變微運算、分積運算）尚待系統探討。有興趣的讀者可按積分運算、合併運算、合積運算的逆過程對其試求之，其中，分解運算、分積運算可先對原式的圖象直觀分解或對原式各項採用同號分解，並適當設定分解後的基長、基寬、基高等，然後分步求之。

歸納上述各種變值運算可知，當變值係數均為常數1時，其運算規則便與常規等值函式的算法完全相同，這也充分說明，變值函式是對等值函式的合理擴展（如同實數是對有理數的合理擴展一樣）。作為本法一個套用實例的CS儲量積分法已首次實現了對圈礦模型同時進行精確快捷定位計算這一世界難題。不僅如此，有關變值方法將使更多疑難數學問題迎刃而解。不過，該法只對部分變值算法作了驗證，還有大量的擴展算法和有關套用尚需繼續實踐與探索。