證券組合分析

我們用期望收益率和方差來計量單一證券的收益率和風險。一個證券組合由一定數量的單一證券構成，每一隻證券占有一定的比例，我們也可將證券組合視為一隻證券，那么，證券組合的收益率和風險也可用期望收益率和方差來計量。不過，證券組合的期望收益率和方差可以通過由其構成的單一證券的期望收益率和方差來表達。

基本介紹

• 中文名：證券組合分析

兩種證券組合的收益和風險

設有兩種證券A和B，某投資者將一筆資金以x的比例投資於證券A，以y的比例投資於證券B，且x+y=1，稱該投資者擁有一個證券組合P。如果到期時，證券A的收益率為a，證券B的收益率為b，則證券組合P的收益率Q為：

Q=ax+by

證券組合中的權數可以為負，比如x<0，則表示該組合賣空了證券A，並將所得的資金連同自有資金買入證券B，因為x+y=1，故有y=1－x>1。

投資者在進行投資決策時並不知道x和y的確切值，因而x、y應為隨機變數，對其分布的簡化描述是它們的期望值和方差。投資組合P的期望收益率E和收益率的方差為：

E=xa+yb

方差=x的平方×證券A的方差+y的平方×證券B的方差+2xy×證券A的標準差×證券B的標準差×證券組合的相關係數

式中：

證券A的標準差×證券B的標準差×證券組合的相關係數——協方差，記為COV(A,B)

舉例說明：

已知證券組合P是由證券A和B構成，證券A和B的期望收益、標準差以及相關係數如下：

證券名稱 期望收益率 標準差 相關係數 投資比重

A 10% 6% 0.12 30%

B 5% 2% 0.12 70%

那么，組合P的期望收益為：

期望收益=( 0.1 × 0.3 + 0.05 × 0.7 ) × 100% = 6.5%

組合P的方差為：

方差=( 0.3 × 0.3 × 0.06 × 0.06 ) + ( 0.7 × 0.7 × 0.02 × 0.02 ) + ( 2 × 0.3 × 0.7 × 0.06 × 0.02 × 0.12 ) = 0.00058

選擇不同的組合權數，可以得到包含證券A和證券B的不同的證券組合，從而得到不同的期望收益率和方差。投資者可以根據自己對收益率和方差（風險）的偏好，選擇自己最滿意的組合。

多種證券組合的收益和風險

這裡將把兩個證券的組合討論拓展到任意多個證券的情形。設有N種證券，記作 A1 、A2 、A3 、… 、AN ，證券組合P = ( x1 ，x2 ，x3 ，… ，xn ) 表示將資金分別以權數 x1 、x2 、x3 、…、xn，投資於證券 A1 、A2 、A3 、… 、AN 。如果允許賣空，則權數可以為負，負的權數表示賣空證券占總資金的比例。正如兩種證券的投資組合情形一樣，證券組合的收益率等於各單個證券的收益率的加權平均。即：設Ai的收益率為Ri ( i = 1 ，2 ，3 ，…，N ) ，則證券組合P = ( x1 ，x2 ，x3 ，… ，xn ) 的收益率為：

Rp = x1 × r1 + x2 × r2 + … + xn × rn = ∑xi ri

推導可得證券組合P的期望收益率和方差為：

E ( rp ) = ∑xi E(ri) （ 1 ）

方差 = ∑i∑j xi xj cov(xi , xj) （ 2 ）

由式（ 1 ）和（ 2 ）可知，要估計E(rp) 和 方差，當N非常大時，計算量十分巨大。在計算機技術尚不發達的20世紀50年代，證券組合理論不可能運用於大規模市場，只有在不同種類的資產間，如股票、債券、銀行存單之間分配資金時，才可能運用這一理論。20世紀60年代後，威廉·夏普提出了指數模型以簡化計算。隨著計算機技術的發展，以開發出計算E（rp) 和 方差的計算機運用軟體，如：Matlab 、SPSS 和 Eviews 等，大大方便了投資者。