計算方法及其套用（高等學校計算機套用規劃教材）

內容簡介

《計算方法及其套用》主要介紹了數值計算方法的基本理論，內容包括計算方法的基本概念、函式的插值與擬合、數值積分和數值微分、非線性方程的數值解法、解線性方程組的直接法和疊代法、常微分方程的數值解法、矩陣的特徵值和特徵向量的計算。書中含有豐富的例題、習題和上機實驗題。

《計算方法及其套用》可作為數學與套用數學、信息與計算科學、計算機科學與技術專業等本科生“計算方法”課程的教材或參考書，也可作為理工科研究生“數值分析”課程的教材或參考書。

圖書目錄

第1章緒論 1

§1.1計算方法的對象、作用與特點1

§1.2數值計算的誤差2

1.2.1誤差的來源2

1.2.2誤差的基本概念3

§1.3有效數字4

1.3.1有效數字的定義4

1.3.2有效數字與相對誤差的關係5

§1.4誤差定恥夜只性分析與避免誤差傷害6

1.4.1數值穩定算法7

1.4.2病態問題與良態問題9

1.4.3減少誤差的若干原則10

§1.5向量和矩陣的範數11

1.5.1向量範數11

1.5.2矩陣範數12

習題14

第2章插值與擬合 16

§2.1拉格朗日插值嫌戒17

2.1.1插值多項式的存在唯一性17

2.1.2拉格朗日插值方法的構造17

2.1.3n次拉格朗日插值多項式洪愚朵19

2.1.4誤差估計20

2.1.5上機捉趨巴程式22

2.1.6算法評價23

§2.2牛頓插值23

2.2.1多項式的逐次生成23

2.2.2差商及其性質24

2.2.3牛頓插值多項式25

2.2.4上機程式27

2.2.5算法評價28

§2.3埃爾米特插值28

2.3.1三次埃爾米特插值多項式29

2.3.22n+1次埃爾米特插值多項式29

2.3.3誤差估計31

2.3.4上機程式32

2.3.5算法評價33

§2.4分段插值33

2.4.1龍格現象33

2.4.2分段線性插值及誤差估計34

2.4.3上機程式36

2.4.4算法評價36

§2.5樣條插值36

2.5.1三次樣條插值的M關係式（三彎矩方程）37

2.5.2三次樣條函式的m關係式（三轉角方程）39

2.5.3樣條插值函式誤差估計式41

§2.6曲線擬合的最小二乘法41

2.6.1最小二乘法41

2.6.2多項式擬合42

2.6.3非線性擬合43

§2.7數值實驗45

2.7.1實驗目的45

2.7.2實驗內容與要求45

2.7.3實驗題目48

習題48

第3章數值積分和數值微分50

§3.1插值型求積公式51

3.1.1插值型求慨檔滲積公式的構造51

3.1.2求積餘項和代數精度51

§3.2牛頓-柯特斯積分53

3.2.1梯形積分53

3.2.2辛普森積分54

3.2.3牛頓-柯特斯積分係數55

§3.3復化求積公式57

3.3.1復化梯形積分57

3.3.2復化辛普森積分58

3.3.3複合積分的自動控制誤差方法60

3.3.4上機程式61

§3.4高斯求積公式62

3.4.1一點高斯公式62

3.4.2二點高斯公式62

3.4.3n點高斯公式63

§3.5數值微分65

3.5.1差商與數值微分65

3.5.2插值型數值微分66

3.5.3樣條插值數值微分公式68

3.5.4上機程式68

§3.6上機實驗69

3.6.1實驗目的69

3.6.2實驗內容與要求69

3.6.3實驗題目70

習題71

第4章非線性方程的數值解法73

§4.1引言73

§4.2對分法73

4.2.1對分法的數學依據和算法簡述73

4.2.2上機程式74

4.2.3算法評價75

§4.3疊代法及其收斂性75

4.3.1不動點章影阿獄疊代格式75

4.3.2不動點疊代格式的收斂性定理77

4.3.3局部收斂性79

4.3.4收斂階79

§4.4牛頓法80

4.4.1牛頓疊代公式的構造81

4.4.2牛頓法的幾何意義81

4.4.3牛頓法的收斂性81

4.4.4上機程式82

4.4.5算法評價83

§4.5弦截法83

4.5.1弦截法疊代格式83

4.5.2弦截法的幾何意義84

4.5.3弦截法的收斂性84

4.5.4上機程式85

4.5.5算法評價85

§4.6非線性方程組的牛頓法86

4.6.1二階非線性方程組的牛頓方法86

4.6.2高階非線性方程組的才槳己備牛頓方法87

§4.7上機實驗89

4.7.1實驗目的89

4.7.2實驗內容與要求89

4.7.3實驗題目91

習題91

第5章解線性方程組的直接法92

§5.1引言92

§5.2消元法93

5.2.1三角形方程組的解93

5.2.2高斯消去法93

§5.3直接分解法99

5.3.1杜利特爾分解99

5.3.2追趕法101

5.3.3平方根法102

§5.4直接法的捨入誤差分析105

§5.5上機實驗108

5.5.1實驗目的108

5.5.2實驗內容與要求108

5.5.3實驗題目108

習題109

第6章解線性方程組的疊代法110

§6.1引言110

§6.2疊代法的一般理論110

6.2.1疊代格式的構造110

6.2.2疊代法的收斂性和誤差估計111

§6.3雅可比疊代法113

6.3.1雅可比疊代法的構造113

6.3.2雅可比疊代法的收斂條件113

6.3.3雅可比疊代法的誤差估計115

6.3.4上機程式116

§6.4高斯-塞德爾疊代法117

6.4.1高斯-塞德爾疊代法的構造117

6.4.2高斯-塞德爾疊代法的收斂條件118

6.4.3上機程式119

§6.5超鬆弛疊代法120

6.5.1超鬆弛疊代法疊代格式的構造120

6.5.2超鬆弛疊代法的收斂條件120

6.5.3上機程式122

§6.6上機實驗123

6.6.1實驗目的123

6.6.2實驗內容與要求123

6.6.3實驗題目123

習題123

第7章常微分方程的數值解法125

§7.1引言125

§7.2歐拉方法126

7.2.1顯式歐拉公式126

7.2.2隱式歐拉公式126

7.2.3改進的歐拉公式127

7.2.4歐拉方法的誤差估計129

7.2.5上機程式131

§7.3龍格-庫塔方法131

7.3.1龍格-庫塔方法的基本思想131

7.3.2二階龍格-庫塔公式132

7.3.3高階龍格-庫塔公式133

§7.4單步法的收斂性與穩定性133

7.4.1收斂性與相容性133

7.4.2穩定性134

§7.5線性多步方法137

7.5.1線性多步方法的基本思想137

7.5.2阿當姆斯外插公式及其誤差138

7.5.3阿當姆斯內插公式139

§7.6一階微分方程組和高階微分方程的數值解法140

7.6.1一階微分方程組的數值解法140

7.6.2高階常微分方程141

7.6.3算法評價141

§7.7上機實驗142

7.7.1實驗目的142

7.7.2實驗內容與要求142

7.7.3實驗題目144

習題144

第8章矩陣的特徵值和特徵向量的計算146

§8.1引言146

§8.2冪法與反冪法146

8.2.1冪法146

8.2.2反冪法150

§8.3雅可比方法151

8.3.1實對稱矩陣的旋轉正交相似變換151

8.3.2雅可比方法及其收斂性153

習題156

參考文獻157

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