西爾維斯特方程

西爾維斯特方程（Sylvester equation）是控制理論中的矩陣方程。

基本介紹

• 中文名：西爾維斯特方程
• 外文名：Sylvester equation
• 性質：矩陣方程
• 學科：控制理論

定義

西爾維斯特方程（Sylvester equation）是控制理論中的矩陣方程，形式如下：

其中A、B及C是已知的矩陣，問題是要找出符合條件的X。其中所有矩陣的係數都是複數。為了要使方程成立，矩陣的行和列需要滿足一定條件，A和B都要是方陣，大小分別是n和m，而X和C要是n行m列的矩陣，n和m也可以相等，四個矩陣都是大小相同的方陣。

西爾維斯特方程有唯一解X的充份必要條件是A和-B沒有共同的特徵值。

AX+XB=C也可以視為是（可能無窮維中）巴拿赫空間中有界運算元的方程。此情形下，唯一解X的充份必要條件幾乎相同：唯一解X的充份必要條件是A和-B的譜互為不交集。

解的存在及唯一

利用克羅內克積以及向量化量子，可以改寫西爾維斯特方程為

其中 為 單位矩陣。在此形式下，可以將問題改為 維的線性系統。

• 命題

假定複數的 矩陣 和 ，西爾維斯特方程針對任意 有唯一解，若且唯 若 和 沒有共同的特徵值。

• 證明

考慮線性轉換 ，

(i)假設 和 沒有共同的特徵值，則其特徵方程式 和 的最大公因式為 ，因此存在複數多項式 和 ，使得 。依照Cayley–Hamilton定理， ；因此 。令 為 的解，則 ，重複上述作法，可得 。因此依照秩－零化度定理， 是可逆的，因此針對所有的 都存在唯一的解 。

(ii) 相對的，若假設 是 和 的共同特徵值，則 也是 的特徵值。存在非零向量 和 使得 以及 。選擇 使得 ，向量的元素是 的共軛複數，則 沒有解 ，因為複數的雙線性pairing ，等號的右邊為正值，而左側為零。

Roth消去法則

假設二個大小分別為n和m的方陣A和B，以及大小為n乘m的矩陣C，則可以確認以下二個大小為n+m的方陣 和

是否彼此相似。這二個矩陣相似的條件是存在一矩陣X使得AX-XB=C，換句話說，X為西爾維斯特方程的解，這稱為Roth消去法則（Roth's removal rule）。

可以用以下方式檢查，若AX-XB=C，則

Roth消去法則無法延伸到巴拿赫空間中的無窮維有界運算元中。

數值解

西爾維斯特方程數值解的經典算法是Bartels–Stewart算法，利用QR算法將矩陣 和矩陣 轉換為舒爾形式，再用逆向取代法求解三角矩陣。此算法若用LAPACK計算，或是GNU Octave的lyap函式計算，計算複雜度是 個數學運算。也可以參考其中的sylvester函式。在一些特定的影像處理套用中，西爾維斯特方程會有解析解。