複雜約束下幾何信息驅動的疊代方法及其套用

《複雜約束下幾何信息驅動的疊代方法及其套用》是依託浙江大學，由藺宏偉擔任項目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：複雜約束下幾何信息驅動的疊代方法及其套用
• 依託單位：浙江大學
• 項目負責人：藺宏偉
• 項目類別：面上項目

項目摘要

幾何設計與相關領域中的許多幾何問題，如曲線曲面的約束擬合，六面體格線生成，和形狀不規則數據集合的高級數據擬合等，由於約束條件複雜，或目標函式高度非線性，或計算量大，需要利用疊代法求解。然而，對於原幾何問題來說，現有疊代方法就像黑匣子一樣，它的疊代格式完全由疊代法本身確定，與原幾何問題沒有明顯聯繫。在很多情況下，這一缺點限制了現有疊代方法取得理想的結果。本項目提出了幾何信息驅動的疊代方法，稱為幾何疊代法。它直接根據要解決的幾何問題中的幾何條件來設計疊代格式，賦予了疊代方法以幾何意義，在一步步的疊代中，保證使得疊代對象逐漸滿足原問題中的幾何條件。本項目將建立幾何疊代方法的理論框架，包括幾何疊代格式的設計方法，收斂性的證明，收斂速度的計算，以及幾何疊代的加速方法；並開展幾何疊代法的套用研究，完善套用模式，拓展套用範圍。為計算機輔助設計等領域的學術研究和工程實踐提供新理論和新工具。

結題摘要

在幾何設計中，經常需要採用疊代法求解問題。但是，傳統的疊代方法的幾何意義不明顯。在許多情況下，這一缺點限制了現有疊代方法取得理想的結果。本項目提出的幾何信息驅動的疊代方法，稱為幾何疊代法。它直接根據要解決的幾何問題中的幾何條件來設計疊代格式，賦予了疊代方法以幾何意義，在一步步的疊代中，保證使得疊代對象逐漸滿足原問題中的幾何條件。本項目的主要研究內容包括四部分：第一，設計並實現曲線曲面約束擬合的幾何疊代格式，以及曲線曲面約束擬合的幾何疊代算法的收斂性與收斂速度的證明與計算；第二，設計並實現基於幾何疊代的六面體格線生成算法，並保證生成六面體格線的有效性；第三，設計並實現大規模數據擬合，以及擬合形狀不規則（有洞）數據集合的幾何疊代算法；第四，對幾何疊代格式的設計方法進行理論總結，並對相關成果申請專利。 本項目取得了一些重要結果，包括：在約束擬合方面，分別設計了滿足約束的曲面交點精度的疊代改進算法，六面體格線頂點和四邊形格線頂點滿足可行域約束的幾何疊代算法。在格線生成方面，設計了保質量的六面體格線和四邊格線疊代生成算法，研究了細分格線正則性的約束條件。在數據擬合方面，設計了基於T樣條的幾何疊代法，可用於大規模數據擬合，以及擬合不規則的有洞數據，基於3變數B樣條的幾何疊代法，最小二乘漸近疊代逼近。在幾何疊代法的理論研究方面，證明了最小二乘漸近疊代逼近在求解奇異方程組時的收斂性，設計了Jacobi-PIA幾何疊代算法。作為總結，在CAD領域的頂級期刊《Computer-Aided Design》發表幾何疊代法的綜述文章，《Survey on geometric iteration methods and their applications》,對幾何疊代法的理論和套用進行了總結。以上成果共發表學術論文27篇，其中SCI收錄20篇，EI收錄5篇，授權發明專利1項。這些成果初步建立了幾何疊代法的理論框架，為計算機輔助設計等領域的學術研究和工程實踐提供了新理論和新工具。