複方程及反演與套用研究

《複方程及反演與套用研究》是依託中國人民大學，由許作良擔任項目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：複方程及反演與套用研究
• 項目類別：面上項目
• 項目負責人：許作良
• 依託單位：中國人民大學

項目摘要

本項目主要研究帶弱條件的非線性橢圓型複方程一些問題（包括高維區域情形）的適定提法及其可解性，用複分析方法研究雙曲型和混合型偏微分方程的某些邊值問題（包括帶退化線的問題和Tricomi問題），研究有關的反演問題，討論橢圓型方程解的性質及擬正則映射中的某些問題，同時進行相關套用與數值計算的研究。本項目主要是進一步解決國際上非線性偏微分複方程中未解決的理論與套用問題。長期以來，複分析方法在偏微分方程套用基本上局限於研究橢圓型方程和方程組，本項目預期進一步將複分析延伸到對雙曲型、拋物型及混合型偏微分方程的研究，並進行高維區域中橢圓型方程一些問題的研究，同時探討有關的反演問題及套用，從而開拓複分析研究的新領域，所用方法具有一定特色，預期研究成果在方程的一般性、邊界條件的廣泛性和區域的多樣性等方面有獨到之處，有著較好的發展前景，將會對複分析方向的發展起到積極的推動作用，並具有重要的理論價值與套用前景。

結題摘要

本項目主要研究偏微分複方程及反演與套用，討論非線性橢圓型複方程一些問題的適定提法及其可解性，用複分析方法研究混合型和雙曲型偏微分方程的某些邊值問題，研究偏微分方程的係數反演問題以及期權定價反問題，討論橢圓型方程解的性質及擬正則映射中的某些問題，同時進行相關套用與數值計算的研究。經過三年的研究，本項目取得了一些重要進展，圓滿完成了預期的科研任務，已發表了學術論文27篇，其中13篇被SCI收錄，出版1本專著和1本國際會議論文集。主要成果有：利用複分析方法證明了高維區域和無界區域上非線性橢圓型方程組的一般斜微商邊值問題解的存在唯一性；引入了新的形式微商，利用解的先驗估計和連續性方法、不動點原理等，研究了多連通區域上的非線性混合型方程，帶零退化秩的非線性二階混合型方程的斜微商問題，帶退化線的一階混合型複方程的Riemann-Hilbert問題，帶拋物退化線和退化雙曲線的二階非線性混合型方程的斜微商問題，以及二階雙曲型複方程的的斜微商問題，給出了這些問題的可解性結果；提出並論證了多連通區域上帶Riemann-Hilbert型映射的橢圓型複方程係數反演問題，給出了重構係數的一種新方法，同時證明了這一反問題解的整體唯一性。利用Newton嵌入法論證了力學中一類逆邊值問題解的存在唯一性，並給出相應邊值問題的近似解法和數值分析。使用投影梯度正則化方法和最小相對熵正則化方法研究一般Black-Scholes方程和帶跳躍擴散型的期權定價反問題，給出了一些數值算法，數值實驗表明了所提算法的有效性。對於歐式期權，提出了一個正則化的最小二乘算法，反演局部波動率係數，有效地解決了在期權市場價格已知前提下的波動率校準問題。研究了A-調和方程和障礙問題的一些性質及不等式，主要給出了A-調和方程障礙問題弱解的局部正則性和局部有界性結果，各向異性障礙問題解的局部正則性，具有多個空間變數的擬正則映射的正則性，以及散度-旋度場的正則性結果；論證並得到了具有權函式的障礙問題很弱解的Caccioppoli不等式。我們的研究方法有一定特色，其成果有獨到之處，會對複分析方向產生較大影響，並具有重要的理論意義和套用前景。