行列式依列展開

行列式依列展開(expansion of a determinant by a column)是計算行列式的一種方法，設a_1j，a_2j，…，a_nj (1≤j≤n)為n階行列式D=|a_ij|的任意一列中的元素，而A_1j，A_2j，…，A_nj分別為它們在D中的代數餘子式，則D=a_1jA_1j+a_2jA_2j+…+a_njA_nj稱為行列式D的依列展開。

基本介紹

• 中文名：行列式依列展開
• 外文名：expansion of a determinant by a column
• 所屬學科：數學
• 所屬問題：高等代數(行列式)
• 基本介紹：計算行列式的一種方法

基本介紹

設a_1j，a_2j，…，a_nj(1≤j≤n)為n階行列式D=|a_ij|的任意一列中的元素，而A_1j，A_2j，…，A_nj分別為它們在D中的代數餘子式，則D=a_1jA_1j+a_2jA_2j+…+a_njA_nj稱為行列式D的依列展開。

例如，在一個三階行列式D中，划去元素a_ij(i=1, 2,3; j=1, 2,3)所在的第i行和第j列的所有元素，剩下的元素按照它原有的位置得到的一個二階行列式稱為元素a_ij的餘子式，記作M_ij。而將(-1)M_ij稱為元素a_ij的代數餘子式，記作A_ij，即A_ij=(-1)M_ij。例如

行列式可按行或列展開，於是每個行列式可以表成它的某一行(或某一列)的每個元素與它對應元素的代數餘子式乘積的和，即

D= a_i1A_i1+ a_i2A_i2+ a_i3A_i3 (i= 1, 2，3) ， (1)

D= a_1jA_1j+ a_2jA_2j+ a_3jA_3j (j=1，2, 3)， (1')

我們把類似(1)式的展開稱為行列式的依行展開式，把(1')式稱為行列式的依列展開式。

相關定理

定理1 (行列式按列展開規則) n階行列式d等於它的任意一列元素與它們對應的代數餘子式之積的和，即

或

定理2如果行列式D的第s列各元素與第t列各元素的代數餘子式對應相乘後再相加，則當s≠t時，其和為零。因此有

此定理也可以敘述為：n階行列式(n>1)的某列的元素與另一列的對應元素的代數餘子式乘積的和等於零。

例題解析

【例1】計算：

解：d中第5列零元素較多，應從這一列入手。

按d中第5列展開得

按第一列展開得

說明在行列式計算中，我們經常利用行列式的展開把n階行列式轉化為n-1階行列式，通過降階逐步變為低階行列式後進行計算，但行列式按某一行或列展開時，只有在該行或列的元素有較多的零時，才能起到減少計算量的作用，因此往往先運用“化零”後進行“降階”，利用行列式性質降低行列式階數，然後計算行列式之值的方法稱為降階法，例1就是降階法的一例。