蚶線

過半徑為a的定圓上一個定點O，任作一直線l交圓周於另一點P₀，在l上取P點，使得|PP₀l=b(b>0)，則P點的軌跡稱為蝸線，也稱為蚶線。

基本介紹

• 中文名：蚶線
• 外文名：limacon (of Pascal);Pascal’s snail
• 所屬學科：數學（幾何學）
• 相關概念：蚌線(或螺形線)
• 別稱：蝸線、帕斯卡蚶線

定義

設C是一條已知曲線，O是一個定點，通過O作直線和曲線C相交於點P，在這直線上點P的兩側各取一點M，使|PM|總等於某個定長，那么，這種點M的軌跡叫作已知曲線C關於已知點O的蚌線(或螺形線)。曲線C叫作蚌線的基線，定點O叫作蚌線的極點，定長叫作蚌線的間隔。

設C是平面上的一個定圓，O是位於定圓C上的一個定點，那么，圓C關於點O的蚌線叫作帕斯卡蚶線(或蝸線)，簡稱蚶線。

蚶線的形狀

由蚶線的定義，不難描繪出蚶線，由於定圓C的直徑h與間隔a的大小關係不同，蚶線呈現三種不同的形狀，如表1。當 時，這種特殊的蚶線也叫作心臟線。

表1 蚶線

蚶線的方程

如圖2，以蚶線的極點 為端點，通過基線圓的圓心作射線 ，以點 為極點，以 為極軸建立極坐標系，設基線圓的直徑為h，蚶線的間隔為 ，蚶線上任意一點M的極坐標為 ，那么， 。由於 ，所以有

這即是蚶線的極坐標方程。

圖2

和蚌線的情形一樣

和

也都是同一蚶線的極坐標方程，通常以(2)為蚶線的極坐標方程。

定理1以蚶線的極點 為極點，以通過基線圓的圓心的射線 為極軸建立坐標系，若蚶線的基線圓的直徑為h，間隔為 ，則這蚶線的極坐標方程為

特別地，心臟線的極坐標方程為 。

蚶線的基本性質

蚶線(2)的基本性質：

(1)對稱性 只關於極軸對稱。

(2)周期性 周期為 ，如表2，當 由0增大到 時，得到蚶線的上半部(當 時，有一小部分在極軸下側)；當 由 增大到 時，得到蚶線的下半部(當 時，有一小部分在極軸下側)；當 由 增大到 時，得到蚶線的下半部(當 時，有一小部分在極軸上側)。

(3)存在範圍 因 ，所以 不能無限增大，所以蚶線囿於一有限範圍內。