莫利定理（Morley's theorem），也稱為莫雷角三分線定理。將三角形的三個內角三等分，靠近某邊的兩條三分角線相交得到一個交點，則這樣的三個交點可以構成一個正三角形。這個三角形常被稱作莫利正三角形。
基本介紹
- 中文名：莫利定理
- 外文名：Morley's theorem
- 分類：數學
- 又名：莫雷角三分線定理
- 屬於：幾何學
- 三角形：莫利正三角形
內容,證明方法,證法一,證法二,
內容
將三角形的三個內角三等分，靠近某邊的兩條角三分線相交得到一個交點，則這樣的三個交點可以構成一個正三角形。
莫利定理
莫利定理證明方法
該定理以其美妙和證明困難著稱，到目前為止，已經有很多證明方法。
證法一
設△ABC中，AQ,AR,BR,BP,CP,CQ為各角的三等分線，三邊長為a,b,c,三內角為3α，3β，3γ，則α+β+γ=60°。
在△ABC中，由正弦定理，得AF=csinβ/sin(α+β)。
不失一般性，△ABC外接圓直徑為1，則由正弦定理，知c=sin3γ，所以AF=
（sin3γ*sinβ）/sin(60°-γ)=[sinβ*sinγ(3-4sin2γ)]/[1/2(√3cosγ-sinγ)]=
2sinβsinγ（√3cosγ+sinγ）=4sinβsinγsin（60°+γ）.
同理,AE=4sinβsinγsin(60°+β)
∴AF:AE=[4sinβsinγsin(60°+γ)]：[4sinβsinγsin(60°+β)]=sin(60°+γ):sin(60°+β)=sin∠AEF:sin∠AFE
∴∠AEF=60°+γ,∠AFE=60°+β.同理得，CED=60°+α
FED=180°-CED-(AEF-α-γ)=180°-60°-α-60°+α=60
∴△FED為正三角形。
證法二
∵AE：AC=sinγ：sin（α+γ），
AF：AB=sinβ：sin（α+β） ，
AB：AC=sin3γ：sin3β，
∴AE:AF=（ACsinγ/sin（α+γ））：（ABsinβ/sin（α+β）），
而sin3γ：sin3β=（sinγsin(60°+γ)sin(60°-γ) ）：（sinβ sin(60°+β) sin(60°-β) ），
sin（α+β）sin(60°-β)=sin（α+γ）sin(60°-γ)，
∴AE：AF=sin(60°+β)：sin(60°+γ)，
∴在△AEF中，∠AEF=60°+γ，
同理∠CED=60°+α，
∴∠DEF=60°，
同理∠DFE=60°，
∴△DEF為正三角形。
