莫雷拉定理

莫雷拉定理是柯西定理的逆定理。如果函式f(z)在區域D內連續，並且沿著D內任何一條可求長閉曲線γ的積分恆等於零，那么f(z)在區域D內解析。

基本介紹

• 中文名：莫雷拉定理
• 外文名：Morera's theorem
• 適用範圍：數理科學
• 相關定理：柯西定理

定理概念

如果函式f(z)在區域D內連續，並且沿著D內任何一條可求長閉曲線γ的積分 ，那么f(z)在區域D內解析。

證明方法

在D內任取兩點z₀和z，因為f(z)在區域B內連續，所以下述積分與路徑無關 。

於是可知函式F(z)單值地取決於變數z。同時，易知 ，所以F(z)是B內的一個解析函式。

由於解析函式的導數仍為解析函式，所以f(z)也是解析函式。

柯西定理

（Cauchy's theorem）

柯西定理是解析函式理論最重要、最基本的定理。

若D是複平面C上的個單連通區域，f(z)在D內是解析的，γ是D內的一條可求長閉曲線，則有