考研數學三部曲之大話機率論與數理統計

《考研數學三部曲之大話機率論與數理統計》是清華大學出版社於2015年出版的圖書，作者是潘鑫。

基本介紹

• 書名：考研數學三部曲之大話機率論與數理統計 
• 作者：潘鑫 
• ISBN：9787302376194 
• 定價：49元 
• 出版社：清華大學出版社 
• 出版時間：2015-1-1 
• 裝幀：平裝 

前 言

創作初衷

大家好，我叫潘鑫，江湖人稱老潘，網路流傳：信老潘，就這么簡單！

在我自己準備研究生考試數學科目的過程中，買過不少輔導書。我想大家應該聽說過李永樂老師編寫的《考研數學複習全書》以及陳文燈老師編寫的《考研數學複習指南》吧。這兩本書的確是寫得非常好，對我的幫助很大，然而，當時我身邊有很多數學基礎很一般的準備考研的同學，他們談到由於自己的基礎一般，因此對於這兩本書中所講的內容並不能完全看懂。當時我就在想，對於這部分考生來講，他們最需要的是這樣一本書：既能完全達到考研數學的難度，同時全書所有的表達方式又能充分照顧到毫無基礎的初學者。那時，我開始有了寫這樣一套考研數學輔導書的想法。

在我研究生開學之前，我同時在五個考研輔導機構擔任講師，主講高等數學、線性代數和機率論與數理統計。由於我講課時邏輯清晰，語言通俗，加之每講一個知識點後我都會大量舉例，從而使得就算是零基礎的考生也能夠聽懂，我也因此很榮幸地受到了學員的一致好評。很快，我開始大班授課。在2013年的全國碩士研究生入學統一考試的考場內，坐著我的很多位學員。據學員反饋，我所有的學員中（無論基礎好壞）有80%的學員的數學考到了100分以上，50%的學員數學分數在120分以上。他們反饋給我成績的同時，不約而同地提出，我應該把所講的內容編寫成書籍，好讓更多的同學受益。於是我寫書的想法被更進一步地激發。

研究生開學後，清華大學的很多老師都提到了“創新”這個詞。的確，創新是一個民族的靈魂。當時我立刻想到了寫書的事情，知識是固定的，教學模式則是可以創新的。目前國內還沒有一本既能達到考研難度又能使得無論什麼基礎的考生都能看懂的考研數學教輔書。老師的話使得我的想法更加堅定：我要寫書。

最後，借用一句在我出書過程中對我幫助很大的超級暢銷書《大話設計模式》的作者程傑的話：現實總比理想來得更“現實”。的確，寫書不是一件容易的事情，有很多很多的困難都需要我去克服。同學們，在你們的考研複習的道路上更是充滿荊棘、困難重重。金鱗豈是池中物，一遇風雲便化龍，希望本書能夠幫助你們在通往成功的道路上一路披荊斬棘，逢山開路，遇水搭橋，最終在考研中取得好成績。

圖書定位

本書的定位是：一本適合讀者自學機率論與數理統計的書籍（無論讀者基礎如何）。本書與傳統教材大不相同，本書的語言非常通俗易懂，邏輯十分嚴謹，本書中所涉及的每個知識點（無論多簡單的知識點）幾乎都有舉例，這“三斧子”使得你完全不用擔心有看不懂的地方。所以，本書主要定位為自學用書。

所謂教材，是老師上課時使用的書籍，大多數教材不會把每個知識點都講解得非常細，目的是要在課堂上給學生留有充分的思考空間，鍛鍊同學們的思維；而教輔書呢，顧名思義，是輔助教材而使用的書籍，教輔書不能脫離教材，如果一個基礎很薄弱的學生直接看教輔書也是會很吃力的。

而本書既非教材，也非教輔，是一本十分“純正”的自學用書。為了能讓讀者實現真正的自學，書中每一個細節都不放過，每個知識點和例題都配有非常通俗易懂的解釋（甚至書中所寫的很多話都是讀者自己很自然可以想到的），這樣一來就可以保證無論什麼基礎的讀者，都能夠看懂本書。相信讀者閱讀本書後會有一種愛不釋手的感覺。

圖書特色

1.充滿趣味

本書以“蓋樓”為大的背景，讀者每閱讀完一章，就是蓋完了大樓的一層，而每層中又分為“磚”和“房間”兩部分，先運來“磚”再搭建“房間”。這種安排內容的方式使得全書充滿了趣味性。

2.語言非常通俗易懂

大部分考研數學類書籍，都是十分規範化的，有點像古代的“八股文”，讀者需要逐字琢磨到底是什麼意思。而最為高級的表達方式就是：用讓人最容易理解的文字，去講解讓人最難理解的知識，而不需要讀者再去琢磨如此規範化的語言到底是什麼意思。這正是本書的最大亮點。

本書的所有語言，從定義定理的解釋，到例題的解析，再到習題的解析，都非常通俗易懂，讓人感覺就像是在讀一本童話故事或者武俠小說。這樣一來，讀者不僅能看懂本書的所有內容，更樂於去閱讀本書，從而使得讀者不僅掌握了相應的知識也節省了讀者的時間。

3.邏輯非常清晰

本書的邏輯從頭到尾都是非常清晰的。具體來說，本書所有題目的解析中絕對不會出現任何一個本書中沒有講到的知識點，並且幾乎所有題目的每一步解答都詳細註明了來源（如：這一步是根據第1章的第五車磚）。

另外，大家知道，做一道題可能會同時用到很多個來自不同章節的知識點。我見過的很多考研輔導書中都存在這樣一種現象：講完知識點，然後下面有配套的例題，而此例題中不但用到了剛講完的知識點一，而且還用到了沒講的知識點二（題中並沒有註明用到了還沒有講的知識點二），這樣一來，許多讀者就不明白了，思考了很長時間，以為是之前的某個知識點自己忘了，後來才知道原來用到的是後續的知識點。這樣的話會很浪費時間，而且會不斷產生挫敗感，而本書在這一點上高度重視，全書的所有習題中極少存在上述現象（可能也就一兩道題存在上述現象，並且題中都做了說明）。

總結來說，本書所謂的“邏輯非常清晰”體現在如下三個方面：

（1）本書所有題目的解析中絕對不會出現任何一個書中沒有講到的知識點。

（2）本書所有題目的每一步解答都詳細註明了來源。

（3）本書的所有題目均與知識點完全對應。

4.例題非常豐富

本書的例題非常豐富。豐富到什麼程度呢？其實很多例題按理說根本就是沒有必要的（因為知識點太簡單了，而且講解知識點的語言又特別通俗易懂，根本不需要再有例題了），但本書還是寫了，這是為什麼呢？因為我在教學的過程中，發現了這樣一種現象：就算知識點再簡單，講解再明白，不舉例的話，學生心裡還是多少會有一些不踏實。基於此，本書所涉及到的知識點（無論再簡單的知識點）幾乎都有配套的例題。

圖書內容

本書是按照教育部考試中心公布的考研大綱的要求來組織內容的。

本書的主要內容包括：隨機試驗，樣本空間，樣本點，隨機事件，隨機事件之間的關係，隨機事件的機率，兩種特殊的隨機事件，互斥，相互獨立，關於互斥、相互獨立的進一步討論，三大公式，四條算律，與機率有關的套用題，隨機變數的定義，分布函式的定義，機率密度函式的定義，隨機變數的分類，三條重要結論，分布律， 為某一隨機變數的分布函式的充要條件，通過分布函式求機率， 為某一隨機變數的機率密度函式的充要條件，通過機率密度函式求機率，常用分布，隨機變數函式的分布，二維隨機變數的聯合分布律、邊緣分布律、條件分布律，二維隨機變數的聯合分布函式、邊緣分布函式，二維隨機變數的聯合機率密度函式、邊緣機率密度函式、條件機率密度函式，通過聯合機率密度函式 求機率，二維均勻分布，隨機變數的獨立性，兩個隨機變數函式的分布， 分布、 分布、 分布，數學期望的基本計算方法，數學期望的性質，方差的基本計算方法，方差的性質，常用分布的數學期望與方差，協方差與相關係數，切比雪夫不等式，辛欽大數定律，列維林德伯格定理（中心極限定理），無偏估計，矩估計，最大似然估計，置信區間等。

圖書讀者

以下三類讀者最適合閱讀本書：

正在準備研究生入學考試的讀者（無論讀者是什麼樣的基礎）。

正在準備學校期末考試的在校大學生（無論讀者是什麼樣的基礎）。

工作後需要補學或溫習機率論與數理統計的讀者（無論讀者是什麼樣的基礎）。

感謝

此書能夠和大家見面，我本人做了很多努力，但如果只靠我一個人的努力，這本書是根本不能順利出版的。並非是客套話，而是事實的確如此。

首先要感謝我的父親潘建平對我寫作本書期間的全力支持，為了幫助我儘快完成書稿，他經常和我一起熬夜到很晚。所以，可以這么說，如果沒有他的貢獻，就沒有本書的出版。

超級暢銷書《大話設計模式》的作者程傑也給了我非常大的幫助。我創作本書的靈感就來源於程傑的那本《大話設計模式》，程傑本人也給我提了很多的寶貴意見，並且我與清華大學出版社的緣分也是來自程傑。在此，我對程傑表示由衷地感謝。

大家都知道，只有作者是無法完成一本書的出版的。一本書的出版與策劃編輯的辛勤勞動是分不開的，本書更是如此。從我與清華大學出版社簽訂出版契約到書名的敲定再到書中很多細節的修改，我都得到了清華大學出版社的欒大成編輯（也是本書的責任編輯）的鼎力相助。在此我要對欒編輯表達我深深的謝意。

在此向所有幫助與支持我的朋友道一聲：謝謝！

潘鑫

內容簡介

本書是一本獨特的機率論與數理統計參考書，以“蓋樓”為目標輕鬆構築整個體系。讀者每閱讀完一章，即蓋完了大樓的一層，而每層中又分為“磚”和“房間”兩部分，先運來“磚”再搭建“房間”，這種安排內容的方式使得全書充滿了趣味性。

本書的特色除了趣味性之外，還有三個“非常”：語言非常通俗易懂，邏輯非常清晰，例題非常豐富。

本書的主要內容包括高等院校機率論與數理統計課程的所有內容，針對考研數學的特殊性進行了強化，同時對於一些傳統課本中的重點、難點、疑點，以及最容易被忽視的一些潛在要點做出了全新詮釋，另外，由於作者常年從事考研培訓，本書還包括相當多的不傳之秘——考研數學的套路。

本書作者就職於著名培訓機構，本書是多年培訓生涯的總結，毫無保留。三類讀者（哪怕零基礎）最適合閱讀本書：正在準備研究生入學考試的讀者；正在準備學校期末考試的在校大學生；工作後需要補學或溫習機率論與數理統計的讀者（如程式設計師等）。

目錄

第0章 超級導讀

磨刀不誤砍柴工。只有把刀磨好了，砍柴時才會事半功倍。

0.1 機率論與數理統計其實就是一座大樓 2

運用比喻，生動形象地為大家展示機率論與數理統計之美。

0.2 我幫你蓋樓 4

我是一個小有名氣的建築師，我將和大家一起蓋好這座七層的大樓。

0.3 第1章到第7章的內容 4

大家來看看吧，這裡有每一章的結構。

0.4 你最後要這樣才行 5

內因才是最重要的，大家要想考高分，就必須按本節所說的這樣去做。

0.5 送給大家的話 6

願我的話能激勵大家在最疲倦、最懈怠的時候，因為責任而堅持，因為擔當而無畏。

第1章 第一層——隨機事件和機率

由於我不確定你是否看了“超級導讀”，所以再次提醒：每章我將按照“磚+房間”的方法來講解，其中“磚”只要全看懂（因為磚是最基礎的內容）就可以了，而“房間”則要看懂後默寫出來（因為房間是考研的考點）。只要你每章都如此，那么，不管你是什麼基礎的同學，考研數學機率論與數理統計部分就一定能拿到滿分。

1.1 第一車磚——隨機試驗 8

隨機試驗可以理解為“為了得知到底是哪種結果而做某事”，而非單純的“做某事”。

1.2 第二車磚——樣本空間 9

“樣本空間”不能孤立的存在，它是配合“隨機試驗”而存在的。換言之，只能說“某隨機試驗的樣本空間是……”，而不能單獨說“樣本空間是……”。

1.3 第三車磚——樣本點 9

本節涉及到的知識點很簡單，所謂樣本點，其實指的就是樣本空間中的元素。

1.4 第四車磚——隨機事件 10

“隨機事件”與“隨機試驗”完全不是一回事，大家可千萬別把它們混為一談。所謂隨機事件，指的是樣本空間的子集。

1.5 第五車磚——隨機事件之間的關係 11

大家已經知道隨機事件是什麼意思了，現在要給大家講的是“兩個隨機事件之間的關係有哪些”。具體來說，有五種關係。

1.5.1 包含關係： 11

1.5.2 等於關係： 12

1.5.3 交關係： （或 ） 12

1.5.4 並關係： （或 ） 13

1.5.5 差關係： 13

1.6 第六車磚——隨機事件的機率 14

機率是對可能性的定量描述，但是這種定量描述是理論上的。

1.7 第七車磚——兩種特殊的隨機事件 14

在前面的第四車磚中，我給大家講了隨機事件的基本概念，隨機事件是樣本空間的子集。本節我要給大家介紹兩種特殊的隨機事件：不可能事件和必然事件。

1.8 房間101——互斥 15

隨機事件 和隨機事件 互斥指隨機事件 和隨機事件 不可能同時發生。

1.8.1 兩個隨機事件互斥 15

1.8.2 兩個隨機事件對立 16

1.9 房間102——相互獨立 17

本節只給大家講“兩個隨機事件相互獨立”和“三個隨機事件相互獨立”。大家一定要記住，“互斥”是針對兩個隨機事件而言的，而“相互獨立”則可以針對多個隨機事件。

1.9.1 兩個隨機事件相互獨立 17

1.9.2 三個隨機事件相互獨立 17

1.10 房間103——關於互斥、相互獨立的進一步討論 18

本節我要給大家講六個結論，請大家務必要把這六個結論背下來。

1.11 房間104——三大公式 19

1.11.1 加法公式 19

1.11.2 減法公式 20

1.11.3 乘法公式 22

1.12 房間105——四條算律 24

1.13 房間106——與機率有關的套用題 34

以下兩個條件是“與機率有關的套用題”的標誌：

①具有背景。

②讓求機率。

1.13.1 幾何概型 35

1.13.2 伯努利概型 44

1.13.3 全機率概型與貝葉斯概型 51

1.14 小結 61

1.15 練習題 62

第2章 第二層——隨機變數及其機率分布

第一章基本沒有涉及到高等數學，但是如果大家認為機率論與數理統計學科與高等數學無關，那可就錯了。本章會涉及到一些高等數學知識，例如導數和積分。

2.1 第一車磚——為什麼要引入隨機變數 72

其實我完全可以把本節內容刪去，而直接給大家講隨機變數的定義，因為本節的內容是不會出考研題的。

2.2 第二車磚——隨機變數的定義 72

通過上一節的講解，大家一定已經知道為什麼要引入隨機變數了吧。那么，到底什麼叫隨機變數呢？這正是本節要給大家講的。

2.3 第三車磚——分布函式的定義 74

本節要給大家講的知識點是分布函式的定義。分布函式實在是太重要了，它既與第二車磚中剛剛講完的隨機變數有關，又與第四車磚中將要講的機率密度函式有關。

2.4 第四車磚——機率密度函式的定義 75

先來給大家提個醒：上一節剛剛講完的分布函式以及本節將要講的機率密度函式都是針對隨機變數而言的。也就是說，並不能孤立地說“分布函式是什麼”或者“機率密度函式是什麼”，必須得說“某隨機變數的分布函式是什麼”或者“某隨機變數的機率密度函式是什麼”。

2.5 第五車磚——隨機變數的分類 82

在本章的第二車磚中，我給大家講了隨機變數的定義。而現在，我們來給隨機變數分一下類。

2.5.1 離散型隨機變數 83

2.5.2 連續型隨機變數 89

2.5.3 混合型隨機變數 92

2.6 第六車磚——三條重要結論 93

這三條重要結論並不是可會可不會，而是必須背熟。

2.6.1 重要結論① 93

2.6.2 重要結論② 93

2.6.3 重要結論③ 100

2.7 第七車磚——分布律 101

分布律其實就是一張表格而已。“分布律”這三個字與“機率分布”這四個字的意思完全一樣，也就是說“機率分布”相當於“分布律”的別名。這一點一定要記牢（有很多人認為“機率分布”的意思是“機率密度函式”，事實卻並非如此）。

2.8 房間201—— 為某一隨機變數的分布函式的充要條件 106

分布函式的定義早在本章的第三車磚中就已經給大家講過了。然而，並不是說任意給一個函式 ，它就一定可以作為某一隨機變數的分布函式……

2.9 房間202——通過分布函式求機率 114

當大家看了本節的標題後，或許會認為“通過分布函式求機率”之前已經講過了啊，沒錯，但是光這一個公式是不夠的，本節再給大家講兩個公式，一共三個。

2.10 房間203—— 為某一隨機變數的機率密度函式的充要條件 121

並不是任意給一個函式，它就一定可以作為某一隨機變數的機率密度函式。

2.11 房間204——通過機率密度函式求機率 127

我想，現在一定有許多同學迫不及待地想對我說“老師，這個我會，不就是先利用機率密度函式 求出分布函式 ，然後利用分布函式 求機率嘛”。我想說，你們不覺得太費勁了嗎？

2.12 房間205——常用分布 133

本章的六個房間都很重要。不過，如果非要在本章的六個房間中挑出一個最重要的房間的話，那么就是房間205。

2.12.1 二項分布 134

2.12.2 泊松分布 137

2.12.3 幾何分布 141

2.12.4 均勻分布 142

2.12.5 指數分布 148

2.12.6 常態分配 149

2.13 房間206——隨機變數函式的分布 156

我要給大家講兩種題型以及對應的解題方法。

2.13.1 第一種題型 156

2.13.2 第二種題型 161

2.14 小結 163

2.15 練習題 163

第3章 第三層——二維隨機變數及其分布

大家之前在運大樓第一層和第二層所需的磚時，運的太多了，多到已經足夠大樓第三層用的了！所以我們現在不用運磚了，直接建造房間。

3.1 房間301——二維隨機變數的聯合分布律、邊緣分布律、

條件分布律 170

“分布律是一張表格，表格中列出了隨機變數的所有可能取值以及相應的機率。”而現在，只是在“分布律”一詞前面加了修飾詞“聯合”、“邊緣”、“條件”而已，可無論加什麼詞來修飾，歸根結底還是分布律。

3.2 房間302——二維隨機變數的聯合分布函式、邊緣分布函式 176

正如二維隨機變數 的分布律有聯合分布律與邊緣分布律之分一樣，二維隨機變數 的分布函式也有聯合分布函式與邊緣分布函式之分……

3.3 房間303——二維隨機變數的聯合機率密度函式、邊緣機率密度函式、

條件機率密度函式 180

正如二維隨機變數 的分布律有聯合分布律、邊緣分布律、條件分布律之分一樣，二維隨機變數 的機率密度函式也有聯合機率密度函式、邊緣機率密度函式、條件機率密度函式之分。

3.3.1 題型1 180

3.3.2 題型2 196

3.3.3 題型3 201

3.4 房間304——通過聯合機率密度函式 求機率 202

大家猜一下，本節的標題中“機率”兩字指的是哪種機率呢？

3.5 房間305——二維均勻分布 208

一旦題中告訴了二維隨機變數 服從均勻分布，那么就相當於告訴了該二維隨機變數的聯合機率密度函式。

3.6 房間306——隨機變數的獨立性 212

提起“獨立性”一詞，大家是否會感到似曾相識？的確，本書第1章講過“獨立性”，是“隨機事件的獨立性”，而本節是“隨機變數的獨立性”……

3.7 房間307——兩個隨機變數函式的分布 218

第2章房間206的標題叫“隨機變數函式的分布”，而本節的標題叫“兩個隨機變數函式的分布”，好好琢磨一下。

3.7.1 第一種題型 218

3.7. 2 第二種題型 229

3.8 房間308—— 分布、 分布、 分布 230

其實本節的內容按理來說應該在第6章（數理統計的基本概念）中講，之所以現在講，主要是考慮到本節的內容涉及到常態分配以及隨機變數的獨立性。常態分配是在第2章講的，隨機變數的獨立性是在本章講的，所以我就趁熱打鐵了。

3.8.1 （讀作“kài方”）分布 230

3.8.2 分布 233

3.8.3 分布 235

3.9 小結 236

3.10 練習題 237

第4章 第四層——隨機變數的數字特徵

與上一章一樣，沒有磚只有房間，就講四個知識點：數學期望、方差、協方差、相關係數。

4.1 房間401——數學期望的基本計算方法 250

我並不給大家講數學期望的定義，而是直接給大家講數學期望的基本計算方法。這是為什麼呢？因為考研中從不考數學期望的定義。

4.1.1 題型1 250

4.1.2 題型2 251

4.1.3 題型3 252

4.1.4 題型4 256

4.2 房間402——數學期望的性質 257

考研中除了考查數學期望的基本計算方法之外，還考查數學期望的性質。

4.3 房間403——方差的基本計算方法 266

房間401是“數學期望的基本計算方法”，而本節是“方差的基本計算方法”，所以大家可以把這兩節放在一起來記憶。

4.4 房間404——方差的性質 270

考研中除了考查方差的基本計算方法之外，還考查方差的性質。

4.4.1 性質1 270

4.4.2 性質2 270

4.4.3 性質3 270

4.4.4 性質4 272

4.4.5 性質5 274

4.5 房間405——常見分布的數學期望與方差 275

本節我會給大家一個表格，請大家一定要把它背下來。

4.6 房間406——協方差與相關係數 281

協方差的定義大家可以不知道（只掌握協方差的性質就可以了），但是相關係數的定義大家一定要知道。

4.6.1 協方差 281

4.6.2 相關係數 284

4.7 小結 288

4.8 練習題 290

第5章 第五層——大數定律和中心極限定理

本章的知識點較少，只有三個房間，在考研題中一般是以選擇題或填空題的形式來對本章的知識點進行考查。

5.1 房間501——切比雪夫不等式 296

5.2 房間502——辛欽大數定律 297

5.3 房間503——列維林德伯格定理（中心極限定理） 299

5.4 小結 300

5.5 練習題 302

第6章 第六層——數理統計的基本概念

本章不講定義（因為考研中根本不考本章這些定義），只給大家講一下重要的性質和定理。實際上，考研中很少涉及到本章的知識點，因此大家不必在本章花費過多的時間。

6.1 第一車磚——五個名詞 306

本節給大家介紹五個名詞，五個等式（背下來），另外， 、 、 、 、 的對應中文名稱也必須背下來。

6.2 房間601——與 和 有關的三條性質 307

6.3 房間602——與正態總體有關的四條結論 308

6.4 小結 311

6.5 練習題 312

第7章 第七層——參數估計

本章要講的是“估計”，考研中對於“估計”的考查主要有兩種題型。第一種題型是:別人已經對未知參數進行了估計，問你別人的估計是否準確。第二種題型是：讓你自己對未知參數進行估計。

7.1 房間701——無偏估計 318

比如 是未知參數，某人對未知參數 的估計值是 。如果此人估計的比較準確的話，那么我們就稱 是未知參數 的無偏估計。仔細看，某人對未知參數 的估計值是 ，那么我們應該如何判斷 是否為 的無偏估計呢？別急，請看本節的內容。

7.2 房間702——矩估計 320

房間701中給大家講的無偏估計的實質是“被動”，也就是說別人已經對未知參數進行了估計，問你別人的估計是否準確。而接下來的房間702、703、704中我要給大家講的是“主動”，也就是說讓你自己對未知參數進行估計。

7.3 房間703——最大似然估計 325

“最大似然估計”與上一節講的“矩估計”都屬於點估計，而不屬於區間估計。

7.4 房間704——置信區間 334

房間702 （矩估計）和房間703（最大似然估計）講的都是估計“點”，只不過是從兩個不同的角度來估計而已；而本房間 （房間704）講的則是估計“段”。

7.5 小結 338

7.6 練習題 340