線面平行

線面平行，幾何術語。定義為一條直線與一個平面無公共點（不相交），稱為直線與平面平行。

基本介紹

• 中文名：線面平行
• 外文名：Parallel lines
• 套用領域：數學立體幾何
• 基本釋義：線和平面平行
• 定義：一條直線與一個平面無公共點

判定定理

定理1

平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行。

已知：a∥b，a⊄α，b⊂α，求證：a∥α反證法證明：假設a與α不平行，則它們相交，設交點為A，那么A∈α

∵a∥b，∴A不在b上

在α內過A作c∥b，則a∩c=A

又∵a∥b，b∥c，∴a∥c，與a∩c=A矛盾。

∴假設不成立，a∥α

向量法證明：設a的方向向量為a，b的方向向量為b，面α的法向量為p。∵b⊂α

∴b⊥p，即p·b=0

∵a∥b，由共線向量基本定理可知存在一實數k使得a=kb

那么p·a=p·kb=kp·b=0
　　即a⊥p

∴a∥α

定理2

平面外一條直線與此平面的垂線垂直，則這條直線與此平面平行。

已知：a⊥b，b⊥α，且a不在α上。求證：a∥α證明：設a與b的垂足為A，b與α的垂足為B。

線面平行

假設a與α不平行，那么它們相交，設a∩α=C，連線BC由於不在直線上的三個點確定一個平面，因此ABC首尾相連得到△ABC

∵B∈α，C∈α，b⊥α

∴b⊥BC，即∠ABC=90°

∵a⊥b，即∠BAC=90°

∴在△ABC中，有兩個內角為90°，這是不可能的事情。

∴假設不成立，a∥α

判斷方法

（1）利用定義：證明直線與平面無公共點；

（2）利用判定定理：從直線與直線平行得到直線與平面平行；

（3）利用面面平行的性質：兩個平面平行，則一個平面內的直線必平行於另一個平面。

註：線面平行通常採用構造平行四邊形來求證。

直線性質定理

定理1

一條直線和一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行。

已知：a∥α，a∈β，α∩β=b。求證：a∥b

證明：假設a與b不平行，設它們的交點為P，即P在直線a，b上。

∵b∈α，∴a∩α=P

與a∥α矛盾

∴a∥b

此定理揭示了直線與平面平行中蘊含著直線與直線平行。通過直線與平面平行可得到直線與直線平行。這給出了一種作平行線的重要方法。

注意：直線與平面平行，不代表與這個平面所有的直線都平行，但直線與平面垂直，那么這條直線與這個平面內的所有直線都垂直。

定理2

一條直線與一個平面平行，則該直線垂直於此平面的垂線。

已知：a∥α，b⊥α。求證：a⊥b
　　

證明：由於α的垂線有無數條，因此可將b平移至與a相交，設平移的直線為c，a∩c=M，c與α的垂足為N。

∵兩條相交直線確定一個平面

∴設a和c構成的平面為β，且α∩β=l

∵N∈c，N∈α，c⊂β

∴N∈l，且由定理1可知a∥l

∵c⊥α，l⊂α

∴c⊥l

∴a⊥c

由於平移不改變直線的方向，因此a⊥b