緊區間上保向微分同胚的光滑嵌入流

《緊區間上保向微分同胚的光滑嵌入流》是依託四川師範大學，由曾瑩瑩擔任項目負責人的青年科學基金項目。

基本介紹

• 中文名：緊區間上保向微分同胚的光滑嵌入流
• 項目類別：青年科學基金項目
• 項目負責人：曾瑩瑩
• 依託單位：四川師範大學

項目摘要

嵌入流問題是動力系統的重要問題之一。特別是對緊區間上保向微分同胚的光滑嵌入流，因其必於兩端點處保持不動，因此被視為一全局嵌入且對非局部分岔的研究意義重大。其中，由局部嵌入到全局嵌入過程中所可能出現的無窮振盪給光滑性的全局保持帶來極大困難。本項目將對可全局光滑嵌入流的保向微分同胚進行探討。針對不動點均雙曲的情形，儘管可光滑嵌入的函式通有不存在，但仍有研究其存在性的必要。我們希望利用Julia方程的正則解來克服線性化僅適用於不動點局部的缺陷，對函式分別在內點及不動點附近進行改造，構造出可全局C1嵌入流的函式。針對非雙曲情形Julia方程已不再適用。我們旨在利用Abel、Böttcher與線性化方程之間的變數替換關係，給出克服僅能局部嵌入的新方法，進而討論該情形下可全局嵌入函式的構造。基於函式構造過程中橋函式的一定任意性,進一步考慮被改造區間的大小和位置對全局嵌入流的影響，以期解決擬疊代根問題。

結題摘要

嵌入流及其弱問題為連線離散動力系統和連續動力系統的橋樑，是動力系統理論的基本問題之一。疊代可產生離散動力系統，其複雜性並非源於被疊代映射的非線性性，而是源於它的非單調性。對具有有限個非單調點的逐段單調函式，研究非單調高度這一刻畫其複雜度的量，通過周期點給出函式高度為無窮的充分必要條件並進一步給出高度無窮函式在逐段單調函式類里的稠密性，說明高度是一個敏感的量且不具有穩定性；對具有無窮多個非單調點的平台函式，引入平整度的概念來刻畫此類函式的複雜性並對其展開研究，將所有單平台函式按複雜度進行了分類，並對其中平台區間隨疊代保持不變的函式給出其所有疊代根的構造方法。對於雙曲情形下的保向微分同胚，通過Julia方程的正則解給出更多可全局光滑嵌入流的函式，克服之前需要給定函式在不動點附近線性的限制。微分方程的解可視為一個時間1映射所嵌入的光滑流。研究含有“狀態依賴”時滯的微分方程的解的存在性問題，最大的困難在於解在其存在區間上的返回性。在不要求“不動點型”初值條件的情況下給出解的存在性。對於研究估計中所涉及的不等式，我們研究了一個帶有限求和項的冪次積分不等式的的連續性、有界性、漸近性和連續依賴性，它從形式上包含之前所有有限求和積分不等式，估計式的存在區間也延拓到了無窮區間。以上結果部分發表於Discrete Contin. Dyn. Syst.，J. Math. Anal. Appl.和Results Math.等國際重要學術期刊，另有1篇已返回審稿意見並要求修改，1篇處於審稿中。