維維安尼定理

維維安尼定理：正三角形（等邊三角形）內或邊界上任一點到三邊的距離之和為定值，這定值等於該三角形的高。

基本介紹

• 中文名：維維安尼定理
• 外文名：Viviani's theorem
• 提出者：維維安尼
• 提出時間：17世紀
• 套用學科：數學

定義

17世紀，義大利數學家維維安尼發現，正三角形上的點具有一種非常美妙的性質，即正三角形（等邊三角形）內或邊界上任一點到三邊的距離之和為定值，這定值等於該三角形的高。

維維安尼定理

提出者

維維安尼（Vincenzo Viviani）是義大利數學家和物理學家 (1622.4.5 –1703.9.22) 。生於義大利佛羅倫斯。維維安尼是伽利略晚年的得意門生和親密助手，他以維維安尼定理和維維安尼曲線為世人所知。維維安尼還和托里拆利在1643年提出了氣壓概念，並發明了水銀氣壓計。

維維安尼

證法

連線點與三角形三個端點，用面積法可證。

維維安尼定理一般用面積公式證明。

對於任意三角形ABC也有類似定理：

da*sinA+db*sinB+dc*sinC=S(ABC)/R=定值。

（da為任意三角形內一點到A邊的距離，db、dc同理。）

證明：

由正弦定理可知

a=2RsinA

b=2RsinB

c=2RsinC

又有三角形面積

Sabc=（a*da+b*db+c*dc）/2

abc替換得

Sabc=R*（da*sinA+db*sinB+dc*sinC）

證畢。