統計與計算反問題

內容簡介

本書主要介紹了處理反問題(不適定問題)的統計方法，尤其側重於建模與計算這兩大問題。與經典文獻中處理反問題的方法不同，本書立足於Bayes統計學的框架，將所有變數都視作隨機變數，並把反問題的解以機率密度函式的形式給出。同時，對於數學模型本身存在的誤差和數值離散導致的額外誤差，本書還創造性地進行了源自建模誤差的統計分析。《BR》　本書詳細討論了先驗模型的構造、測量噪聲建模、Bayes估值以及非靜態統計反演方法等，並引入Markov鏈MonteCarlo方法以及**化方法來探究機率分布。另外從Bayes統計學的角度重新研究了經典正則化方法，揭示了兩者之間的關係。對於書中得到的結論和涉及的技法，作者還佐以易懂但深刻的例子幫助讀者理解。本書將統計方法套用到一些較為前沿的問題中，例如離散誤差分析、模型降階等。在書中，這些統計方法還被進一步套用於一系列實際問題中，包括有限角度斷層成像、圖像去模糊、電阻抗斷層成像、生物磁學反問題等。

第1章反問題與對測量的詮釋 1
1.1 介紹性示例 2
1.2 反演過失 4
第2章經典正則化方法 5
2.1 緒論：Fredholm方程 5
2.2 截斷奇異值分解 8
2.3 Tikhonov正則化 13
2.3.1 Tikhonov正則化的推廣 21
2.4 正則化的疊代方法 23
2.4.1 Landweber-Fridman疊代 23
2.4.2 Kaczmarz疊代與ART 27
2.4.3 Krylov子空間法 35
2.5 注釋與評論 42
第3章統計反演理論 43
3.1 反問題與Bayes公式 43
3.1.1 估計量 45
3.2 似然函式的構造 48
3.2.1 加性噪聲 48
3.2.2 其他顯式噪聲模型 51
3.2.3 計數過程數據 52
3.3 先驗模型 54
3.3.1 Gauss先驗函式 54
3.3.2 脈衝先驗密度函式 55
3.3.3 不連續性 57
3.3.4 Markov隨機場 58
3.3.5 基於樣本的密度函式 61
3.4 Gauss密度函式 63
3.4.1 Gauss光滑化先驗函式 70
3.5 對後驗函式的詮釋 79
3.6 Markov鏈Monte Carlo方法 80
3.6.1 基本思想 80
3.6.2 核的Metropolis-Hastings構造 83
3.6.3 Gibbs採樣器 88
3.6.4 收斂性 94
3.7 層次模型 95
3.8 注釋與評論 99
第4章非穩態反問題 101
4.1 Bayes濾波 101
4.1.1 一個非穩態反問題 101
4.1.2 發展-觀測模型 104
4.2 Kalman濾波器 108
4.2.1 線性Gauss型問題 108
4.2.2 擴展Kalman濾波器 111
4.3 粒子濾波器 114
4.4 空間先驗函式 117
4.5 固定滯後和固定區間平滑化 121
4.6 高階Markov模型 123
4.7 注釋與評論 126
第5章再議經典方法 127
5.1 估值理論 127
5.1.1 *大似然估計 128
5.1.2 Bayes成本誘導的估計量 128
5.1.3 帶仿射估計量的估值誤差 130
5.2 測試例 131
5.2.1 先驗函式 132
5.2.2 觀測運算元 135
5.2.3 加性噪聲模型 136
5.2.4 測試問題 137
5.3 基於樣本的誤差分析 138
5.4 截斷奇異值分解 139
5.5 共軛梯度疊代 145
5.6 Tikhonov正則化 146
5.6.1 先驗結構與正則化水平 147
5.6.2 Gauss觀測誤差模型的誤設 149
5.6.3 加性Cauchy誤差 151
5.7 離散化與先驗模型 153
5.8 統計模型降階、近似誤差與反演過失 158
5.8.1 例子：全形斷層成像與CGNE 160
5.9 注釋與評論 163
第6章模型問題 165
6.1 X射線斷層成像 165
6.1.1 Radon變換 166
6.1.2 離散模型 168
6.2 反源問題 169
6.2.1 準靜態Maxwell方程組 170
6.2.2 電學反源問題 172
6.2.3 磁學反源問題 173
6.3 電阻抗斷層成像 176
6.4 光學斷層成像 181
6.4.1 輻射轉移方程 182
6.4.2 擴散近似 184
6.4.3 時諧測量 191
6.5 注釋與評論 191
第7章實例研究 193
7.1 圖像去模糊與異常的重構 193
7.1.1 模型問題 193
7.1.2 降階模型與近似誤差模型 195
7.1.3 後驗函式的取樣 198
7.1.4 模擬誤差的影響 203
7.2 有限角斷層成像：牙科X射線成像 206
7.2.1 層估計 207
7.2.2 MAP估計 208
7.2.3 取樣：Gibbs採樣器 209
7.3 生物磁學反問題：源定位 210
7.3.1 使用Gauss白噪聲先驗模型的重構 211
7.3.2 使用e1-先驗模型的偶極子強度重構 213
7.4 基於Bayes濾波的動態MEG 217
7.4.1 單偶極子模型 217
7.4.2 更現實的幾何構形 220
7.4.3 多偶極子模型 221
7.5 電阻抗斷層成像：*優電流模式 225
7.5.1 後驗合成電流模式 225
7.5.2 *優準則 227
7.5.3 數值算例 230
7.6 電阻抗斷層成像：近似誤差的處理 233
7.6.1 格線與投影 233
7.6.2 先驗函式與先驗模型 235
7.6.3 誤差增強模型 236
7.6.4 MAP估計 238
7.7 電阻抗過程斷層成像 242
7.7.1 發展模型 243
7.7.2 觀測模型與計算格式 245
7.7.3 同定滯後狀態估計 247
7.7.4 流剖面的估值 249
7.8 各向異性介質中的光學斷層成像 252
7.8.1 各向異性模型 253
7.8.2 線性化模型 256
7.9 光學斷層成像：邊界重構 259
7.9.1 一般橢圓情形 259
7.9.2 在光學擴散斷層成像中的套用 262
7.10 注釋與評論 264
附錄A 線性代數與泛函分析 268
A.1 線性代數 268
A.2 泛函分析 271
A.3 Sobolev空間 272
附錄B 機率論基礎 276
B.1 基本概念 276
B.2 條件機率 280
索引 284
參考文獻 288

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基本介紹

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