絕對性

在數學邏輯中，如果在某些類型的結構（也稱為模型）中具有相同的真值，則公式被認為是絕對的。關於絕對性的定理通常建立公式的絕對性及其句法形式之間的關係。

有兩種較弱的部分絕對形式。如果結構M的每個子結構N中的公式的真實性來自於M中的真值，公式是向下絕對的。如果一個結構N中的一個公式的真實性意味著每個結構M的延伸N的真值，則該公式是向上絕對的。

基本介紹

• 中文名：絕對性
• 外文名：Absoluteness
• 領域：數學
• 形式：向上或向下
• 套用：集合理論與模型理論
• 相關理論：Shoenfield絕對定理

定義

在數學邏輯中，如果在某些類型的結構（也稱為模型）中具有相同的真值，則公式被認為是絕對的。關於絕對性的定理通常建立公式的絕對性及其句法形式之間的關係。

有兩種較弱的部分絕對形式。如果結構M的每個子結構N中的公式的真實性來自於M中的真值，公式是向下絕對的。如果一個結構N中的一個公式的真實性意味著每個結構M的延伸N的真值，則該公式是向上絕對的。

絕對問題在集合理論和模型理論中，尤其在同時考慮多個結構的領域十分重要。在模型理論中，幾個基本的結果和定義是絕對的。在集合理論中，集合的屬性是絕對的問題得到了很好的研究。 Shoenfield絕對定理，由於約瑟夫·肖恩菲爾德（Joseph Shoenfield，1961），確定了集合理論模型與其可構造的宇宙之間的一大類公式的絕對性，並且具有重要的方法學影響，同時還研究了大型基數公理的絕對性，得出了正面和負面結果。

與模型理論

在模型理論中，有幾個與絕對相關的一般結果和定義。 向下絕對的一個基本例子是，在結構中真實的通用句子（只有通用量詞的那些）在原始結構的每個子結構中也是正確的。 相反，存在句子從結構向包含它的任何結構都是上升的。

如果兩個結構在共同語言中同意所有句子的真值，也就是說，如果其語言中的所有句子在兩個結構之間是絕對的，則這兩個結構被定義為基本相等。 如果每當M和N是理論的模型，M是N的子結構，則M是N的基本子結構，則理論被定義為模型完成。

與集合理論

現代集理論的一個主要部分是研究不同型號的ZF和ZFC。 了解這些模型的研究對於不同模型來說，知道哪一個屬性是絕對的。 通常從固定理論的固定模型開始，只考慮包含與固定模型相同的序數的其他傳遞模型。

某些屬性對於集合理論的所有傳遞模型是絕對的，其中包括：

x是空集。

x是一個序數。

X是有限序數。

x =ω。

x是函式的。

其他屬性，如可數性，不是絕對的。

絕對失敗

Skolem的悖論是一方面的矛盾，一方面，實數的數量是無數的（這可以從ZFC證明，甚至可以從ZFC的一個小型有限子系統ZFC'證明），另一方面也是可數的傳遞模型 的ZFC（這在ZFC中可以證明），而這樣一個模型中的一組實數將是一個可數的集合。 可以通過注意到ZFC的特定模型的子模型的可數性不是絕對的來解決悖論。 可能的是，集合X可以在集合理論的模型中計數，但在包含X的子模型中是不可數的，因為子模型可以不包含X和ω之間的雙極，而可計數的定義是存在這樣的一個雙射。 Löwenheim-Skolem定理在套用於ZFC時表明，這種情況確實發生了。

Shoenfield的絕對定理

Shoenfield的絕對定理顯示分析層次中的和語句在解釋為每個模型中自然數語句時，其在ZF模型中的V以及L中是絕對的。該定理允許語句使用V中的自然數集合作為參數，在這種情況下，L必須由包含這些參數和所有序數的最小子模型代替。該定理有必然性，語句是向上絕對的（如果這樣的一個語句在L中成立，那么它保持在V）和句子是向下絕對的（如果他們保持在V，那么他們保持字啊L）。因為任何兩個具有相同序數的集合理論的傳遞模型都具有相同的可構造的宇宙，Shoenfield定理表明，兩個這樣的模型必須一致地認為語句為真。

Shoenfield定理的一個結論與選擇的公理有關。 Gödel證明，即使V僅被認為滿足ZF，L總是滿足ZFC。 Shoenfield定理表明，如果存在一個ZF模型，其中給定的語句為假，則φ也為假該模型的可構造宇宙。相反，這意味著如果ZFC證明了一個語句，那么這個句子也可以在ZF中證明。同樣的論據也可以適用於任何其他原則，如組合原理。即使這些原則與ZF無關，ZF中的每一個的結果已經證明了。特別是，這包括可以用Peano算術（一級）語言表達的任何後果。

Shoenfield定理也表明，可以通過強制的方法獲得獨立結果的局限性。特別是，Peano算術的任何語句都是與具有相同序數的集合理論的傳遞模型絕對的。因此，不可能用強制來改變算術句子的真值，因為強制不會改變它所套用的模型的序數。許多著名的開放問題，如黎曼假說和P = NP問題，可以表示為句（或較低的複雜度），因此不能通過強制來證明與ZFC無關。