純三角方程

純三角方程(pure trigonometric equation)是一種三角方程，指未知數只含在三角函式記號下的三角方程，如果未知數隻出現在同名的三角函式記號下，這樣的純三角方程又稱為基本純三角方程(basic pure trigonometric equation)。

基本介紹

• 中文名：純三角方程
• 外文名：pure trigonometric equation
• 所屬學科：數學
• 所屬問題：代數與方程（三角函式）
• 特徵：未知數只含在三角函式記號下

基本概念

含有“未知數的三角函式"的方程，叫做三角方程。三角方程又可分成兩類：純三角方程和混合三角方程，若未知數隻出現在三角函式符號下，叫做純三角方程，例如2sinx+3cosx=0。若未知數不只出現在三角函式符號下，則叫做混合三角方程，例如tgx－8x=0。

適合於三角方程的未知數的一切值的集合，叫做這個三角方程的解集，解三角方程就是要求出它的解集或者指出它沒有解。

三角方程是一種超越方程，正如歐拉所說的那樣，超越方程的解法必須超越出代數方法的範圍，應該指出，沒有求出三角方程解集的一般算法，常用的方法是圖解法或數值近似法，但是對於某些特殊類型的純三角方程，還是有求出它們的解集的算法的。因為三角函式的周期性，三角方程変量的定義域常常限制在長度是基本周期的區間內，例如0<x<2π。

基本類型

一個純三角方程稱為屬於基本類型是指:如果變數只出現在跟一個三角函式有關的表達式中，例如在sinT中，並且此方程關於這個表達式是一個代數方程。

【例1】方程是屬於基本類型的，其中x是変量，而b是實參數。無企如何，關於cos2x它是一個代數方程。用代換t= cos2x得到t=b，它有解，從，在數表的精度範圍內，能夠査得x的解。

【例2】方程同樣地是屬於基本類型的，其中x是変量，而p和q是參數。它是關於tan x的代數方程，用代換u=tanx，就変成ニ次方程u+pu+q=0，其解是。利用數表能夠求得x的解。

化簡成基本類型

如果三角方程包含sinT，cosT，tanT，cotT中的幾項，但具有同樣的T，那么使用公式就能把原來的方程排成只包含一個三角函式的新的方程。最有用的代換法是

【例3】。

解：

因為對是不存在的，因而給出的變換方程對x=π是沒有意義的。為此把x=π的值代到原來的方程進行測試，結果證明在給定的變數範圍內，x=π是方程的第二個解。兩個函式和的圖象交點的橫坐標就是由圖解法得到的解(見圖1)。

1=5sin x的圖象和y₂=3cosx+3的圖象的交點" style="float: none; display: block; margin: 0px auto; clear: both;" picsrc="241f95cad1c8a786bae144e66b09c93d71cf500a" data-layout="largecenter" width="344" height="285" url="/img/7/185/vMWaw9SbvNmLz9mYlNmYu4GZj5yZtl2ai9yL6MHc0RHa.jpg241f95cad1c8a786bae144e66b09c93d71cf500a?x-bce-process=image/resize,m_lfit,w_220,h_220,limit_1/format,f_auto" compressw="220" compressh="182" data-mode="" useredit="1" />

【例4】方程acosx+bsinx=c，其中c≤a+b，也能用餘弦函式的加法定理進行求解。用去除方程的兩邊，並令

方程就變成

或者

其中輔助角h由所唯一地確定。

因此也就知道了x(在0到2π中有兩個解)。對於數值a=-3，b=5，c=3，得到-3cos x+5sin x=3，。因為sin h>0，和cos h<0，h位於第Ⅱ象限中；h=120.96°。從得到(x-h)₁=59.04°，或者(x-h)₂=-59.04°，因此x₁=180°，x₂=61.92°。

如果三角方程只是由一種三角函式所組成，例如是由cot T₁，cot T₂，...所組成，其中T₁，T₂，...是各不相同的，那么在某種情況下，這種三角方程能化簡成基本類型。例如m如果所有的T_i都是單獨一項T的整數倍時，用加法定理就能把它化成基本類型。