立方拋物線

立方拋物線(cubical parabola)方程為y=ax³（a≠0）的平面曲線，曲線關於原點對稱，原點為其拐點，x軸為拐點切線。當a>0時，曲線在第一象限上凹伸向無窮遠，在第三象限下凹伸向無窮遠；當a<0時，曲線為y=∣a∣x³關於y軸作對稱變換所得的曲線。

基本介紹

• 中文名：立方拋物線
• 外文名：cubical parabola
• 所屬領域：數學幾何學
• 曲線特徵：關於原點對稱

定義

在平面上一動點P到定軸Ox的距離 與該動點至定點O的連線 在定軸的射影 的立方之比為定值，那么該動點的軌跡叫做立方拋物線，如圖1。亦即

那么，動點P運動的軌跡 ， ， ， ，...，就是立方拋物線。

圖1

有關名詞簡介

圖二

圖3

①極軸：定軸Ox；

②極點：定軸上的定點O；

③動徑：動點至極點的距離 ；

④動徑角：動徑與極軸的夾角θ；

⑤切線：同擺線切線定義，如PT;

⑥法線：過切點垂直於切線的直線，如PN;

幾何性質

①立方拋物線的直角坐標方程：

由定義知 ,令 , ,則有

上式化為極坐標方程：

令 ，則 代入直角坐標方程得

所以

當 時， 則 被限制在 內(n為整數)；

當 時， 則 被限制在 內(n為整數)；

②過立方拋物線上任意一點的切線的斜率為：

與橫軸的交點

設曲線L:

其中，p為常數，此函式的圖象L稱為立方拋物線。

其次求出曲線L與橫坐標軸的交點，即方程

的根。該方程有三個根

當p<0時，後兩個是虛根，沒有幾何意義；當p>0時，上式為三個不同的實根，這時曲線L與橫軸有三個交點；當p=0時，三個根重合為一個三重根x=0。