《矩陣秩最小化問題的逼近方法研究》是依託福建師範大學，由李成進擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：矩陣秩最小化問題的逼近方法研究
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：李成進
- 依託單位：福建師範大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
矩陣秩最小化問題是一類以極小化可行域中矩陣的秩為目標的最佳化問題。它在工程及科學計算領域中有著廣泛套用，如系統控制、機器學習、圖像重構、壓縮感測等，但是此類問題是NP-難的。求解上述最佳化問題的一般做法是利用某種連續函式來代替矩陣秩函式以得到矩陣秩最小化問題的近似問題，並利用近似問題的解來估計原問題的解。目前已有的方法所求得的近似解普遍需要在相對嚴格條件下才等於精確解。本項目擬通過一族含參光滑函式來近似矩陣秩函式，並結合等價變換、適當鬆弛等技巧給出相應的近似問題，再利用參數控制促使近似問題的解逐步逼近原問題的解。此外，在分析新的近似問題結構的基礎上，擬設計基於逼近思想的相應算法，並討論算法的收斂性與穩定性。最後，通過對矩陣秩最小化問題的不同近似問題及相應算法的比較與分析，進一步提高逼近方法的效率與穩定性。
結題摘要
本項目研究的對象是矩陣秩最小化問題，此類問題在工程及科學計算領域中有著廣泛的套用，如系統控制、機器學習、圖像重構、壓縮感測等。自項目開展以來，我們從三個不同方面入手進行研究，第一，直接構造出一族含參光滑函式來近似矩陣秩函式，並結合等價變換、適當鬆弛等技巧給出相應的近似問題，再利用參數控制促使近似問題的解逐步逼近原問題的解，最後還把此算法有效的套用到了物流管理中。同時，我們也利用交替方向法與正則化相結合的方式來求解此類問題，並得到了相應的理論與數值結果。上述兩種方法在求解矩陣秩最小化問題時均可達到較高精度。例如，對於已知數據很少的矩陣恢復問題，我們算法比其它常用方法更容易恢復這個未知矩陣。第二，眾所周知，矩陣秩最小化問題可以通過正則化鬆弛為矩陣最小二乘問題進行求解，因此在本項目中我們對某種有著簡單約束的廣義半正定最小二乘問題進行研究，並針對其特性設計出求解此問題的類近似點算法。此方法與傳統的解半定規劃的方法（如內點法）相比，有著更高的效率與更好的精度。第三，對於某些與矩陣秩最佳化相關的問題，本項目中也做了一定的研究，例如對包含半正定矩陣錐在內的一般錐最佳化問題的利普希茨誤差理論以及流形夾角問題的理論分析。
