真正相似(true similar)亦稱直接相似、同向相似或本質相似，是一種特殊相似形。一個平面到自身的變換，如果對於任意兩點A，B，以及對應點A'，B'，總有A'B'=k.AB（k為正實數），那么，這個變換叫做相似變換，實數k叫做相似比，相似比為k的相似變換常記為H(k)，顯然，當k=1時，H(1)就是契約變換。在相似變換下，點A變為點A'，圖形F變為圖形F'，此時，稱F，F'是相似圖形，記為F∽F'。與契約圖形類似，如果在兩個相似圖形上，每兩個對應三角形沿周界環繞方向相同，則稱這兩個圖形真正相似；如果對應三角形沿周界環繞方向相反，那么稱這兩個圖形鏡像相似。
基本介紹
- 中文名：真正相似
- 外文名：true similar
- 別稱：直接相似、同向相似或本質相似
- 所屬學科：數學
- 所屬問題：平面幾何(比例與相似形)
基本介紹,相關定理,相關介紹,
基本介紹
真正相似是一種特殊相似形，設圖形F與F′是相似形，在圖形F上任取不共線 三點A，B，C，它們在圖形F′上的對應點分別是A′，B′，C′(如圖1)，若△ABC和△A′B′C′的方向相同，即三對對應點的排列(沿周界ABCA與A′B′C′A′的環繞方向)或同為順時針方向或同為逆時針方向，則稱圖形F與圖形F′真正相似。真正相似圖形的重要特例是真正相似三角形。當△ABC與△A′B′C′相似，且沿周界ABCA與沿周界A′B′C′A′的環繞方向相同，即同為逆時針方向或同為順時針方向，則這兩個三角形是真正相似三角形。
圖1相關定理
定理1 位似圖形必彼此真正相似。
定理2 若兩非契約的真正相似圖形有一雙對應直線互相平行或重合，則它們必是位似圖形。
注 必須注意，即使兩真正相似圖形的每雙對應頂點連線共點，但這兩圖形未必是位似的，例如在下圖中所繪的△ABC與△A'B'C'，它們不但真正相似，且有透視中心O，然而它們明明就不是位似圖形。
圖2定理3 既不契約也不位似的兩個真正相似圖形，可以接連行一次位似變換和一次旋轉將其一形變為他形， 其中相似中心和旋轉中心是同一點。
定理4設圖形F與F'真正相似但不契約，A與A'是任一雙對應點，k是相似比。若內外分錢段AA'於M、N，使
，則直徑為MN的圓恆過一定點。
定理5 非契約的兩個鏡象相似圖形，可以接連行一 次反射和一次位似變換將其一形變為另一形，其中反射軸通過相似中心。
定理6 非契約的兩個鏡象相似圖形的兩條二重線，內外分每雙對應點的連線線所得的分比，都等於兩形的相似比。
相關介紹
如果二圖形F和F'的點與點之間建立這樣的一一對應應關係，即圖形F'上任意二點連線而成的線段與圖形F上與前二點對應的二點連線而成的線段的比有同一數值，就說圖形F'相似子圖形F，設A、B、C、D、…為圖形F上的點，圖形F'上的對應點為A'、B'、C'、D'、…，由定義，必有K=A'B'：AB=A'C'：AC=B'C'：BC=A'D'：AD…=常數，這個比例常數K稱為圖形F'對於圖形F的相似係數或稱相似比。
特別地，如果兩個邊數相同的多邊形的對應角都相等，對應邊都成比例，這兩個多邊形叫做相似多邊形。對於兩個三角形，如果對應角相等，對應邊成比例，這兩個三角形叫做相似三角形，相似用符號“∽”表示，讀作“相似於”。
有兩種相似圖形。如果給圖形以定向， 則有
(1)兩相似圖形上的每兩個對應三角形有同一的定向，每兩對應角有同向，這兩個相似圖形稱為真正相似(圖3)。
圖3(2)兩相似圖形上的每兩個對應三角形有相反的定向，每兩對應角有相反方向，這兩個相似圖形稱為鏡象相似(圖4)。
圖4