相鄰交叉和嵌套在集合分拆中的分布

《相鄰交叉和嵌套在集合分拆中的分布》是依託南京師範大學，由趙飛燕擔任項目負責人的數學天元基金項目。

基本介紹

• 中文名：相鄰交叉和嵌套在集合分拆中的分布
• 項目類別：數學天元基金項目
• 項目負責人：趙飛燕
• 依託單位：南京師範大學

項目摘要

匹配和集合分拆是組合數學和圖論中一個重要的研究對象，而其中關於該結構上弧的交叉與嵌套的性質研究是組合計數理論的一個經典課題，主要包括交叉與嵌套的分布與聯合分布，最大交叉與嵌套的分布和聯合分布，非交叉與非嵌套的匹配與分拆計數，避免某種子類型的匹配和分拆的計數等方面的內容。近幾十年來，隨著集合分拆理論在其他學科的廣泛套用，使得對分拆理論的研究，特別是對交叉和嵌套分布的研究成為組合數學界一個非常熱點的課題，得到了包括多位美國科學院院士在內的世界知名學者的關注。在本項目中，我們主要集中研究非左嵌套的匹配與排列之間統計量的對應與聯合分布，相鄰交叉和嵌套在匹配和集合分拆上的分布，非右交叉和非右嵌套的集合分拆的計數公式的細化，以及利用非右交叉和非右嵌套分拆基本結構，得到一些組合恆等式。通過項目的實施，我們希望能不僅解決相鄰交叉和嵌套的分布，且進一步促進該領域的發展，深化與生物數學、機器學習之間的聯繫。

結題摘要

匹配是組合數學和圖論中一個重要的研究對象，而其中關於該結構上弧的交叉與嵌套的性質研究是組合計數理論的一個經典課題。本項目主要研究對象是匹配，交錯排列，B型排列和組合恆等式。主要研究成果如下： 1、利用交錯排列和一對匹配之間的對應關係，我們提供了給定峰集合的交錯排列個數的計數公式的組合證明。依據從左往右的最大值的個數，同時給了這個計數公式的一個加細形式。 2、通過組合構造的方法，我們給出了帶符號的B型超越數在B型排列和B型錯排上的遞推關係和閉公式。進而研究了B型超越數，穩定點和圈在B型排列上的聯合分布。 3、利用2-Motzkin路，我們給出了MacMahon公式和Gould的一個公式之間的等價性證明。並推廣了Gould所提出的一個公式。